Математический маятник - это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящейся в поле тяжести Земли. Математический маятник - это идеализированная модель, правильно описывающая реальный маятник лишь при определенных условиях. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.
Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.
где а х – ускорение, g – ускорение свободного падения, х - смещение, l – длина нити маятника.
Это уравнение называется уравнением свободных колебаний математического маятника. Оно правильно описывает рассматриваемые колебания лишь тогда, когда выполнены следующие предположения:
2) рассматриваются лишь малые колебания маятника с небольшим углом размаха.
Свободные колебания любых систем во всех случаях описываются аналогичными уравнениями.
Причинами свободных колебаний математического маятника являются:
1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.
2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.
Период свободных колебаний математического маятника
Период свободных колебаний математического маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.
Превращение энергии при гармонических колебаниях
При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела в его кинетическую энергию , гдеk – коэффициент упругости,х - модуль смещения маятника из положения равновесия,m - масса маятника,v - его скорость. В соответствии с уравнением гармонических колебаний:
,
.
Полная энергия пружинного маятника:
.
Полная энергия для математического маятника:
В случае математического маятника
Превращения энергии при
колебаниях пружинного маятника происходи
в соответствии с законом сохранения
механической энергии (
).
При движении маятника вниз или вверх
от положения равновесия его потенциальная
энергия увеличивается, а кинетическая
- уменьшается. Когда маятник проходит
положение равновесия (х
= 0), его потенциальная
энергия равна нулю и кинетическая
энергия маятника имеет наибольшее
значение, равное его полной энергии.
Таким образом, в процессе свободных колебаний маятника его потенциальная энергия превращается в кинетическую, кинетическая в потенциальную, потенциальная затем снова в кинетическую и т. д. Но полная механическая энергия при этом остается неизменной.
Вынужденные колебания. Резонанс.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными колебаниями . Внешняя периодическая сила, называемая вынуждающей, сообщает колебательной системе дополнительную энергию, которая идет на восполнение энергетических потерь, происходящих из-за трения. Если вынуждающая сила изменяется во времени по закону синуса или косинуса, то вынужденные колебания будут гармоническими и незатухающими.
В отличие от свободных колебаний, когда система получает энергию лишь один раз (при выведении системы из состояния равновесия), в случае вынужденных колебаний система поглощает эту энергию от источника внешней периодической силы непрерывно. Эта энергия восполняет потери, расходуемые на преодоление трения, и потому полная энергия колебательной системы no-прежнему остается неизменной.
Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы . В случае, когда частота вынуждающей силы υ совпадает с собственной частотой колебательной системы υ 0 , происходит резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний - резонанс . Резонанс возникает из-за того, что при υ = υ 0 внешняя сила, действуя в такт со свободными колебаниями, все время сонаправлена со скоростью колеблющегося тела и совершает положительную работу: энергия колеблющегося тела увеличивается, и амплитуда его колебаний становится большой. График зависимости амплитуды вынужденных колебаний А т от частоты вынуждающей силы υ представлен на рисунке, этот график называется резонансной кривой:
Явление резонанса играет большую роль в ряде природных, научных и производственных процессов. Например, необходимо учитывать явление резонанса при проектировании мостов, зданий и других сооружений, испытывающих вибрацию под нагрузкой, в противном случае при определенных условиях эти сооружения могут быть разрушены.
(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.
Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).
Период колебаний.
Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.
Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.
За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).
Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .
Частота колебаний.
Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .
Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:
В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:
.
Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.
Представьте себе некую механическую систему, которая состоит из некой материальной точки (тела), которая висит на нерастяжимой невесомой нити (при этом масса нити ничтожно мала по сравнению с массой тела). Вот такая механическая система и является маятником или осциллятором, как его еще называют. Впрочем, могут быть и другие виды такого устройства. Чем же математический маятник, осциллятор интересен для нас? Дело в том, что с его помощью можно проникнуть в суть многих интересных природных явлений в физике.
Колебания математического маятника
Формула периода колебания математического маятника впервые была открыта голландским ученым Гюйгенсом в далеком XVII веке. Будучи современником Исаака Ньютона, Гюйгенс был очень увлечен такими вот маятниками, увлечен настолько, что даже изобрел специальные часы с маятниковым механизмам, и часы эти были одними из самых точных для того времени.
Маятниковые часы Гюйгенса.
Появление подобного изобретения сослужило большую пользу физике, особенно в сфере физических экспериментов, где точное измерение времени является весьма важным фактором.
Но вернемся к маятнику, итак, в основе работы маятника лежат его колебания, которые можно выразить формулой, точнее следующим дифференциальным уравнением:
x + w2 sin x = 0
Где х (t) – неизвестная функция (это угол отклонения от нижнего положения равновесия в момент t, выраженный в радианах); w – положительная константа, которая определяется из параметров маятника (w = √ g/L, где g – это ускорение свободного падения, а L – длина математического маятника (подвес).
Помимо, собственно колебаний маятник может пребывать и в положении равновесия, при этом сила тяжести, действующая на него, будет уравновешиваться силой натяжения нити. Обычный плоский маятник, пребывающий на нерастяжимой нити, является системой с двумя степенями свободы. Но если, к примеру, нитку заменить на стержень, тогда наш маятник станет системой лишь с одной степенью свободы, так как его движения будут двухмерными, а не трехмерными.
Но если же наш маятник все-таки пребывает на нити и при этом совершает интенсивные колебания вверх-вниз, тогда механическая система приобретает устойчивое положение, именуемое «верх тормашками», еще ее называют маятником Капицы.
Свойства маятника
У маятника есть ряд интересных свойств, подтвержденных физическими законами. Так период колебаний всякого маятника зависит от таких факторов, как его размер, форма тела, расстояние между центром тяжести и точкой подвеса. Поэтому определение периода маятника является не простой задачей. А вот период математического маятника можно рассчитать точно по формуле, которая будет приведена ниже.
В ходе наблюдений за маятниками были выведены следующие закономерности:
- Если к маятнику подвешивать разные грузы с разным весом, но при этом сохранять одинаковую длину маятника, то период его колебания будет одинаковым вне зависимости от массы груза.
- Если при запуске колебаний отклонить маятник на не очень большие, но все же разные углы, то он станет колебаться в одинаковым период, но по разным амплитудам. Следовательно, период колебания у подобного маятника не зависит от амплитуды колебания, такое явление было названо изохронизмом, что с древнегреческого можно перевести как «хронос» — время, «изо» — равный, то есть «равновременный».
Период математического маятника
Период маятника – показатель, который представляет период собственно колебаний маятника, их длительность. Формулу периода математического маятника можно записать следующим образом.
Где L – длина нити математического маятника, g – ускорение свободного падения, а π – число Пи, математическая константа.
Период малых колебания математического маятника никак не зависит от массы маятника и амплитуды колебания, в этой ситуации он двигается как математический маятник с заданной длинной.
Практическое применение математического маятника
Вот мы добрались и до самого интересного, зачем нужен математический маятник и какое его применение на практике в жизни. В первую очередь ускорение математического маятника используется для геологоразведки, с его помощью ищут полезные ископаемые. Как это происходит? Дело в том, что ускорение свободного падения изменяется с географической широтой, так как плотность коры в разных местах нашей планеты далеко не одинакова и там где залегают породы с большей плотностью, ускорение будет немножко больше. А значит, просто подсчитав количество колебаний маятника можно отыскать в недрах Земли руду или каменный уголь, так как они имеют большую плотность, нежели другие рыхлые горные породы.
Также математическим маятником пользовались многие выдающиеся ученые прошлого, начиная с античности, в частности Архимед, Аристотель, Платон, Плутарх. Так Архимед и вовсе использовал математический маятник во всех своих вычислениях, а некоторые люди даже верили, что маятник может влиять на судьбы людей и пытались делать с его помощью предсказания будущего.
Математический маятник, видео
И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.
Период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается
Для математического маятника выполняются некоторые законы:
1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.
2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..
Давайте выведем формулу периода математического маятника.
На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:
С проецируем все на ось ОХ:
При малых углах
Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:
Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:
Тогда период математического маятника будет равен:
Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p
Так же есть:
Период пружинного маятника
Период физического маятника 
Период крутильного маятника