По какому закону вы собираетесь меня повесить?
- А мы вешаем всех по одному закону - закону Всемирного Тяготения.
Закон всемирного тяготения
Явление гравитации - это закон всемирного тяготения. Два тела действуют друг на друга с силой, которая обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо пропорциональна произведению их масс.
Математически мы можем выразить этот великий закон формулой
Тяготение действует на огромных расстояниях во Вселенной . Но Ньютон утверждал, что взаимно притягиваются все предметы. А правда ли, что любые два предмета притягивают друг друга? Только представьте, известно, что Земля притягивает вас, сидящих на стуле. Но задумывались ли о том, что компьютер и мышка притягивают друг друга? Или карандаш и ручка, лежащие на столе? В этом случае в формулу подставляем массу ручки, массу карандаша, делим на квадрат расстояния между ними, с учетом гравитационной постоянной, получаем силу их взаимного притяжения. Но, она выйдет на столько маленькой (из-за маленьких масс ручки и карандаша), что мы не ощущаем ее наличие. Другое дело, когда речь идет о Земле и стуле, или Солнце и Земле. Массы значительные, а значит действие силы мы уже можем оценить.
Вспомним об ускорении свободного падения . Это и есть действие закона притяжения. Под действием силы тело изменяет скорость тем медленнее, чем больше масса. В результате, все тела падают на Землю с одинаковым ускорением.
Чем вызвана эта невидимая уникальная сила? На сегодняшний день известно и доказано существование гравитационного поля. Узнать больше о природе гравитационного поля можно в дополнительном материале темы.
Задумайтесь, что такое тяготение? Откуда оно? Что оно собой представляет? Ведь не может быть так, что планета смотрит на Солнце, видит, насколько оно удалено, подсчитывает обратный квадрат расстояния в соответствии с этим законом?
Направление силы притяжения
Есть два тела, пусть тело А и В. Тело А притягивает тело В. Сила, с которой тело А воздействует, начинается на теле B и направлена в сторону тела А. То есть как бы "берет" тело B и тянет к себе. Тело В "проделывает" то же самое с телом А.
Каждое тело притягивается Землей. Земля "берет" тело и тянет к своему центру. Поэтому эта сила всегда будет направлена вертикально вниз, и приложена она с центра тяжести тела, называют ее силой тяжести.
Главное запомнить
Некоторые методы геологической разведки, предсказание приливов и в последнее время расчет движения искусственных спутников и межпланетных станций. Заблаговременное вычисление положения планет.
Можем ли мы сами поставить такой опыт, а не гадать, притягиваются ли планеты, предметы?
Такой прямой опыт сделал Кавендиш (Генри Кавендиш (1731-1810) - английский физик и химик) при помощи прибора, который показан на рисунке. Идея состояла в том, чтобы подвесить на очень тонкой кварцевой нити стержень с двумя шарами и затем поднести к ним сбоку два больших свинцовых шара. Притяжение шаров слегка перекрутит нить - слегка, потому что силы притяжения между обычными предметами очень слабы. При помощи такого прибора Кавендишу удалось непосредственно измерить силу, расстояние и величину обеих масс и, таким образом, определить постоянную тяготения G .
Уникальное открытие постоянной тяготения G, которая характеризует гравитационное поле в пространстве, позволила определить массу Земли, Солнца и других небесных тел. Поэтому Кавендиш назвал свой опыт "взвешиванием Земли".
Интересно, что у различных законов физики есть некоторые общие черты. Обратимся к законам электричества (сила Кулона) . Электрические силы также обратно пропорциональны квадрату расстояния, но уже между зарядами , и невольно возникает мысль, что в этой закономерности таится глубокий смысл. До сих пор никому не удалось представить тяготение и электричество как два разных проявления одной и той же сущности.
Сила и тут изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния, но разница в величине электрических сил и сил тяготения поразительна. Пытаясь установить общую природу тяготения и электричества, мы обнаруживаем такое превосходство электрических сил над силами тяготения, что трудно поверить, будто у тех и у других один и тот же источник. Как можно говорить, что одно действует сильнее другого? Ведь все зависит от того, какова масса и каков заряд. Рассуждая о том, насколько сильно действует тяготение, вы не вправе говорить: "Возьмем массу такой-то величины", потому что вы выбираете ее сами. Но если мы возьмем то, что предлагает нам сама Природа (ее собственные числа и меры, которые не имеют ничего общего с нашими дюймами, годами, с нашими мерами), тогда мы сможем сравнивать. Мы возьмем элементарную заряженную частицу, такую, например, как электрон. Две элементарные частицы, два электрона, за счет электрического заряда отталкивают друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, а за счет гравитации притягиваются друг к другу опять-таки с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.
Вопрос: каково отношение силы тяготения к электрической силе? Тяготение относится к электрическому отталкиванию, как единица к числу с 42 нулями. Это вызывает глубочайшее недоумение. Откуда могло взяться такое огромное число?
Люди ищут этот огромный коэффициент в других явлениях природы. Они перебирают всякие большие числа, а если вам нужно большое число, почему не взять, скажем, отношение диаметра Вселенной к диаметру протона - как ни удивительно, это тоже число с 42 нулями. И вот говорят: может быть, этот коэффициент и равен отношению диаметра протона к диаметру Вселенной? Это интересная мысль, но, поскольку Вселенная постепенно расширяется, должна меняться и постоянная тяготения. Хотя эта гипотеза еще не опровергнута, у нас нет никаких свидетельств в ее пользу. Наоборот, некоторые данные говорят о том, что постоянная тяготения не менялась таким образом. Это громадное число по сей день остается загадкой.
Эйнштейну пришлось видоизменить законы тяготения в соответствии с принципами относительности. Первый из этих принципов гласит, что расстояние х нельзя преодолеть мгновенно, тогда как по теории Ньютона силы действуют мгновенно. Эйнштейну пришлось изменить законы Ньютона. Эти изменения, уточнения очень малы. Одно из них состоит вот в чем: поскольку свет имеет энергию, энергия эквивалентна массе, а все массы притягиваются, - свет тоже притягивается и, значит, проходя мимо Солнца, должен отклоняться. Так оно и происходит на самом деле. Сила тяготения тоже слегка изменена в теории Эйнштейна. Но этого очень незначительного изменения в законе тяготения как раз достаточно, чтобы объяснить некоторые кажущиеся неправильности в движении Меркурия.
Физические явления в микромире подчиняются иным законам, нежели явления в мире больших масштабов. Встает вопрос: как проявляется тяготение в мире малых масштабов? На него ответит квантовая теория гравитации. Но квантовой теории гравитации еще нет. Люди пока не очень преуспели в создании теории тяготения, полностью согласованной с квантовомеханическими принципами и с принципом неопределенности.
XVI - XVII века многие по праву называют одним из самых славных периодов в Именно в это время были во многом заложены те основы, без которых дальнейшее развитие этой науки было бы попросту немыслимым. Коперник, Галилей, Кеплер проделали огромную работу, чтобы заявить о физике как о науке, которая может дать ответ практически на любой вопрос. Особняком в целой череде открытий стоит закон всемирного тяготения, окончательная формулировка которого принадлежит выдающемуся английскому ученому Исааку Ньютону.
Основное значение работ этого ученого заключалось не в открытии им силы всемирного тяготения - о наличии этой величины еще до Ньютона говорил и Галилей, и Кеплер, а в том, что он первым доказал, что и на Земле, и в космическом пространстве действуют одни и те же силы взаимодействия между телами.
Ньютон на практике подтвердил и теоретически обосновал тот факт, что абсолютно все тела во Вселенной, в том числе и те, которые располагаются на Земле, взаимодействуют друг с другом. Это взаимодействие получило название гравитационного, в то время как сам процесс всемирного тяготения - гравитации.
Данное взаимодействие возникает между телами потому, что существует особый, непохожий на другие, вид материи, который в науке получил название гравитационного поля. Это поле существует и действует вокруг абсолютно любого предмета, при этом никакой защиты от него не существует, так как он обладает ни на что не похожей способностью проникать в любые материалы.
Сила всемирного тяготения, определение и формулировку которой дал находится в прямой зависимости от произведения масс взаимодействующих тел, и в обратной зависимости от квадрата расстояния междуэтими объектами. Согласно мнению Ньютона, неопровержимо подтвержденного практическими изысканиями, сила всемирного тяготения находится по следующей формуле:
В ней особое значение принадлежит гравитационной постоянной G, которая приблизительно равна 6,67*10-11(Н*м2)/кг2.
Сила всемирного тяготения, с которой тела притягиваются к Земле, представляет собой частный случай закона Ньютона и называется силой тяжести. В данном случае гравитационной постоянной и массой самой Земли можно пренебречь, поэтому формула нахождения силы тяжести будет выглядеть так:
Здесь g - не что иное, как ускорение числовое значение которого примерно равно 9,8 м/с2.
Закон Ньютона объясняет не только процессы, происходящие непосредственно на Земле, он дает ответ на множество вопросов, связанных с устройством всей Солнечной системы. В частности, сила всемирного тяготения между оказывает решающее влияние на движение планет по своим орбитам. Теоретическое описание этого движения было дано еще Кеплером, однако обоснование его стало возможно только после того, как Ньютон сформулировал свой знаменитый закон.
Сам Ньютон связывал явления земной и внеземной гравитации на простом примере: при выстреле из летит не прямо, а по дугообразной траектории. При этом при увеличении заряда пороха и массы ядра последнее будет улетать все дальше и дальше. Наконец, если предположить, что возможно достать столько пороха и сконструировать такую пушку, чтобы ядро облетело вокруг Земного шара, то, проделав это движение, оно не остановится, а будет продолжать свое круговое (эллипсовидное) движение, превратившись в искусственный Как следствие, сила всемирного тяготения одинакова по своей природе и на Земле, и в космическом пространстве.
Эта статья уделит внимание истории открытия закона всемирного тяготения. Здесь мы ознакомимся с биографическими сведениями из жизни ученого, открывшего эту физическую догму, рассмотрим ее основные положения, взаимосвязь с квантовой гравитацией, ход развития и многое другое.
Гений
Сэр Исаак Ньютон - ученый родом из Англии. В свое время много внимания и сил уделил таким науками, как физика и математика, а также привнес немало нового в механику и астрономию. По праву считается одним из первых основоположников физики в ее классической модели. Является автором фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», где изложил информацию о трех законах механики и законе всемирного тяготения. Исаак Ньютон заложил этими работами основы классической механики. Им было разработано и интегрального типа, световая теория. Он также внес большой вклад в физическую оптику и разработал множество других теорий в области физики и математики.
Закон
Закон всемирного тяготения и история его открытия уходят своим началом в далекий Его классическая форма - это закон, при помощи которого описывается взаимодействие гравитационного типа, не выходящее за пределы рамок механики.
Его суть заключалась в том, что показатель силы F гравитационной тяги, возникающей между 2 телами или точками материи m1 и m2, отделенными друг от друга определенным расстоянием r, соблюдает пропорциональность по отношению к обоим показателям массы и имеет обратную пропорциональность квадрату расстояния между телами:
F = G, где символом G мы обозначаем постоянную гравитации, равную 6,67408(31).10 -11 м 3 /кгс 2 .
Тяготение Ньютона
Прежде чем рассмотреть историю открытия закона всемирного тяготения, ознакомимся более детально с его общей характеристикой.
В теории, созданной Ньютоном, все тела с большой массой должны порождать вокруг себя особое поле, которое притягивает другие объекты к себе. Его называют гравитационным полем, и оно имеет потенциал.
Тело, обладающее сферической симметрией, образует за пределом самого себя поле, аналогичное тому, которое создает материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.
Направление траектории такой точки в поле гравитации, созданным телом с гораздо более большой массой, подчиняется Объекты вселенной, такие как, например, планета или комета, также подчиняются ему, двигаясь по эллипсу или гиперболе. Учет искажения, которое создают другие массивные тела, учитывается с помощью положений теории возмущения.
Анализируя точность
После того, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения, его необходимо было проверить и доказать множество раз. Для этого совершались ряды расчетов и наблюдений. Придя к согласию с его положениями и исходя из точности его показателя, экспериментальная форма оценивания служит ярким подтверждением ОТО. Измерение квадрупольных взаимодействий тела, что вращается, но антенны его остаются неподвижными, показывают нам, что процесс наращивания δ зависит от потенциала r -(1+δ) , на расстоянии в несколько метров и находится в пределе (2,1±6,2).10 -3 . Ряд других практических подтверждений позволили этому закону утвердиться и принять единую форму, без наличия модификаций. В 2007 г. данную догму перепроверили на расстоянии, меньшем сантиметра (55 мкм-9,59 мм). Учитывая погрешности эксперимента, ученые исследовали диапазон расстояния и не обнаружили явных отклонений в этом законе.
Наблюдение за орбитой Луны по отношению к Земле также подтвердило его состоятельность.
Евклидово пространство
Классическая теория тяготения Ньютона связана с евклидовым пространством. Фактическое равенство с достаточно большой точностью (10 -9) показателей меры расстояния в знаменателе равенства, рассмотренного выше, показывает нам эвклидову основу пространства Ньютоновской механики, с трехмерной физической формой. В такой точке материи площадь сферической поверхности имеет точную пропорциональность по отношению к величине квадрата ее радиуса.
Данные из истории
Рассмотрим краткое содержание истории открытия закона всемирного тяготения.
Идеи выдвигались и другими учеными, живших перед Ньютоном. Размышления о ней посещали Эпикура, Кеплера, Декарта, Роберваля, Гассенди, Гюйгенса и других. Кеплер выдвигал предположение о том, что сила тяготения имеет обратную пропорцию расстоянию от звезды Солнца и распространение имеет лишь в эклиптических плоскостях; по мнению Декарта, она была последствием деятельности вихрей в толще эфира. Существовал ряд догадок, который содержал в себе отражение правильных догадок о зависимости от расстояния.
Письмо от Ньютона Галлею содержало информацию о том, что предшественниками самого сэра Исаака были Гук, Рен и Буйо Исмаэль. Однако до него никому не удалось четко, при помощи математических методов, связать закон тяготения и планетарное движение.
История открытия закона всемирного тяготения тесно связанна с трудом «Математические начала натуральной философии» (1687). В этой работе Ньютон смог вывести рассматриваемый закон благодаря эмпирическому закону Кеплера, уже бывшему к тому времени известным. Он нам показывает, что:
- форма движения любой видимой планеты свидетельствует о наличичи центральной силы;
- сила притяжения центрального типа образует эллиптические или гиперболические орбиты.
О теории Ньютона
Осмотр краткой истории открытия закона всемирного тяготения также может указать нам на ряд отличий, которые выделяли ее на фоне предшествующих гипотез. Ньютон занимался не только публикацией предлагаемой формулы рассматриваемого явления, но и предлагал модель математического типа в целостном виде:
- положение о законе тяготения;
- положение о законе движения;
- систематика методов математических исследований.
Данная триада могла в достаточно точной мере исследовать даже самые сложные движения небесных объектов, таким образом создавая основу для небесной механики. Вплоть до начала деятельности Эйнштейна в данной модели наличие принципиального набора поправок не требовалось. Лишь математические аппараты пришлось значительно улучшить.
Объект для обсуждений
Обнаруженный и доказанный закон в течение всего восемнадцатого века стал известным предметом активных споров и скрупулезных проверок. Однако век завершился общим согласием с его постулатами и утверждениям. Пользуясь расчетами закона, можно было точно определить пути движения тел на небесах. Прямая проверка была совершена в 1798 году. Он сделал это, используя весы крутильного типа с большой чувствительностью. В истории открытия всемирного закона тяготения необходимо выделить особое место толкованиям, введенным Пуассоном. Он разработал понятие потенциала гравитации и Пуассоново уравнение, при помощи которого можно было исчислять данный потенциал. Такой тип модели позволял заниматься исследованием гравитационного поля в условиях наличия произвольного распределения материи.
В теории Ньютона было немало трудностей. Главной из них можно было считать необъяснимость дальнодействия. Нельзя было точно ответить на вопрос о том, как силы притяжения пересылаются сквозь вакуумное пространство с бесконечной скоростью.
«Эволюция» закона
Последующие двести лет, и даже больше, множеством ученых-физиков были предприняты попытки предложить разнообразные способы по усовершенствованию теории Ньютона. Данные усилия окончились триумфом, совершенным в 1915 году, а именно сотворением Общей теории относительности, которую создал Эйнштейн. Он смог преодолеть весь набор трудностей. В согласии с принципом соответствия теория Ньютона оказалась приближением к началу работы над теорией в более общем виде, которое можно применять при наличии определенных условий:
- Потенциал гравитационной природы не может быть слишком большим в исследуемых системах. Солнечная система является примером соблюдения всех правил по движению небесного типа тел. Релятивистское явление находит себя в заметном проявлении смещения перигелия.
- Показатель скорости движения в данной группе систем является незначительным в сравнении со световой скоростью.
Доказательством того, что в слабом стационарном поле гравитации расчеты ОТО принимают форму ньютоновых, служит наличие скалярного потенциала гравитации в стационарном поле со слабо выраженными характеристиками сил, который способен удовлетворить условия уравнения Пуассона.
Масштаб квантов
Однако в истории ни научное открытие закона всемирного тяготения, ни Общая теория относительности не могли служить окончательной гравитационной теорией, поскольку обе недостаточно удовлетворительно описывают процессы гравитационного типа в масштабах квантов. Попытка создания квантово-гравитационной теории является одной из самых главных задач физики современности.
Со точки зрения квантовой гравитации взаимодействие между объектами создается при помощи взаимообмена виртуальными гравитонами. В соответствии с принципом неопределенности, энергетический потенциал виртуальных гравитонов имеет обратную пропорциональность промежутку времени, в котором он существовал, от точки излучения одним объектом до момента времени, в котором его поглотила другая точка.
Ввиду этого получается, что в малом масштабе расстояний взаимодействие тел влечет за собой и обмен гравитонами виртуального типа. Благодаря данным соображениям можно заключить положение о законе потенциала Ньютона и его зависимости в соответствии обратному показателю пропорциональности по отношению к расстоянию. Наличие аналогии между законами Кулона и Ньютона объясняется тем, что вес гравитонов равняется нулю. Это же значение имеет и вес фотонов.
Заблуждение
В школьной программе ответом на вопрос из истории, как Ньютон открыл закон всемирного тяготения, служит история о падающем плоде яблока. Согласно этой легенде, оно свалилось на голову ученому. Однако это - массово распространенное заблуждение, и в действительности все смогло обойтись без подобного случая возможной травмы головы. Сам Ньютон иногда подтверждал данный миф, но в действительности закон не был спонтанным открытием и не пришел в порыве сиюминутного озарения. Как было написано выше, он разрабатывался долгое время и был представлен впервые в трудах о «Математических началах», вышедших на обозрение публике в 1687 году.
В 1665-1666 годах в Лондоне свирепствовала чума, и Ньютон много времени проводил на ферме в Вулсторпе. Ему было всего 24 года, но историки считают, что именно в это время Ньютон задумался о причинах тяжести, а следовательно, и о движениях планет и их спутников. Мысли эти привели его к созданию великого закона всемирного тяготения...
Закон всемирного тяготения сегодня известен каждому школьнику. Знают все и анекдот об упавшем яблоке, которое якобы явилось причиной открытия великого закона.
Но как связать падение яблока со всемирным тяготением?..
Рассказ о яблоке имеет некоторую степень достоверности. Современник Ньютона Стекелей писал в конце жизни: «После обеда погода была жаркая; мы перешли в сад и пили чай под тенью нескольких яблонь; были только мы вдвоем. Между прочим, сэр Исаак сказал мне, что точно в такой же обстановке он находился, когда впервые ему пришла в голову мысль о тяготении. Она была вызвана падением яблока, когда он сидел, погрузившись в думы. Почему яблоко всегда падает отвесно, подумал он про себя, почему не в сторону, а всегда к центру Земли? Должна существовать притягательная сила в материи, сосредоточенная в центре Земли. Если материя та тянет другую материю, то должна существовать пропорциональность ее количеству. Должна, следовательно, существовать сила, подобная той, которую мы называем тяжестью, простирающаяся по всей Вселенной...»
«Этот рассказ мало кому был известен, - пишет академик Вавилов, - но зато весь мир узнал похожий на анекдот пересказ Вольтера, слыхавшего об этом случае от племянницы Ньютона». Вольтеровский анекдот имел успех. А вскоре после смерти Ньютона предприимчивые наследники стали показывать и яблоню, явившуюся, так сказать, первопричиной открытия великого закона.
А теперь, прежде чем мы попытаемся одним глазком заглянуть в творческую лабораторию великого ученого, давайте вспомним современную формулировку закона всемирного тяготения: «Всякие два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними». На языке математики то же самое можно записать значительно короче F ~ M 1 M 2 /r ², где F - сила притяжения, M 1 и M 2 - массы притягивающихся тел, r ² - квадрат расстояния между тяготеющими массами. Если ввести коэффициент пропорциональности k , то формула получит совсем привычный вид: F = k (M 1 M 2 /r ²). Такой мы ее много раз видели в учебниках. Кажется все так просто, правда? Но это только тогда, когда закон уже открыт, когда к нему все привыкли, если и в голове ни у кого не умещается мысль, что было время, когда люди не знали такого простого и замечательного правила. Впрочем, ни одна теория не строится на пустом месте. После этой фразы мы и оказываемся прямо на пороге творческой лаборатории. О чем же знал Ньютон, размышляя над взаимной связью небесных тел? И что в этом направлении было сделано до него?
Помните «законодателя небес» Иоганна Кеплера? Три его закона произвели переворот во взглядах на Вселенную, заставили отказаться от привычного представления о планетных орбитах как правильных окружностях, разрушили представление о планетных сферах. Законы Кеплера просто и точно описывали движения небесных тел, но... в этих законах автор ни словом не обмолвился о причинах такого движения. Между тем мысли ученых людей XVII века все чаще и чаще обращались к такому вопросу: какая же это сила действует на планеты, заставляет их сворачивать со свободного прямолинейного пути и двигаться по эллипсам вокруг Солнца? В чем кроется причина этой силы? Какова природа ее?..
Сам Кеплер искал первопричину в Солнце. Силы, исходящие из могучего светила, должны были, по его мнению, подталкивать планеты. О природе этой «солнечной силы» астроном не задумывался. Со времен древних философов небо считалось чуждым Земле миром, и его законы не имели ничего общего с земными. А потому нечего было и думать об их природе. В небе властвовал бог! Лишь после того, как Галилей открыл закон инерции, объединивший движение тел в мировом пространстве и на земной поверхности, древняя точка зрения оказалась несостоятельной. Люди увидели, что земные и небесные явления подчиняются единым правилам. А не означало ли это, что и природа их была одной и той же? Из этого предположения напрашивается вывод еще более смелый: так ли уж отличается мир неба от мира Земли? А это уже очень походило на косвенное посягательство на авторитет бога.
Чтобы поддержать идею о единстве мира, надо было придумать механизм действия небесных сил, схожий с каким-то явлением на Земле. И вот французский естествоиспытатель и философ Рене Декарт (1596-1650) выдвигает гипотезу о существовании вихрей в мировом эфире. Подобно тому как знакомые всем вихри на Земле увлекают в своем движении пыль и сухие листья, могучие вихри эфира вовлекают в свое движение небесные тела. Гипотеза Декарта давала очень наглядную картину и пользовалась в свое время большой популярностью. Но и в ней ни слова не говорилось о том, какая это сила, - вихри, и все. Правда, многие догадывались о том, что главную роль здесь должны играть силы притяжения. Существовала очень любопытная гипотеза итальянского натуралиста Джованни Борелли (1608-1679). Одно время он изучал движение спутников Юпитера и пришел к выводу, что движение небесных тел объясняется взаимодействием двух сил: одной - направленной к центру вращения, и другой - от центра. Предположим, рассуждал Борелли, что планета находится на таком расстоянии от Солнца и движется с такой скоростью, что стремление от центра (сегодня мы называем его «центробежной силой») меньше силы притяжения. Тогда планета начнет приближаться к светилу по спирали, пока обе силы не уравновесятся. Но вот по инерции, открытой Галилеем, планета проскочила нейтральную орбиту и подошла к Солнцу ближе положенного. Тогда сохранившаяся скорость движения заставит центробежную силу преодолеть притяжение. И планета снова начнет удаляться от светила по спирали...
В гипотезе Борелли нет ни строчки математических доказательств. Он просто предполагает существование силы притяжения и из нее логически выводит криволинейное движение планеты.
Ньютон знал об этой гипотезе. Но отсутствие математики, отсутствие количественного анализа его не удовлетворяло. «Гипотез не изобретаю», - любил повторять английский ученый. Он только кратко формулировал результаты наблюдаемого действия. И эти формулировки, выведенные с помощью логики и математических расчетов, становились законами.
Работая над вопросами тяготения, Ньютон много внимания уделял теории движения Луны. Это очень сложная математическая задача, решить которую сначала нужно было принципиально. «Что удерживает Луну от падения на Землю и какая сила движет ею по орбите?» Ученый думал упорно и в конце концов понял, что никакой силы для движения тела в пустоте прилагать не нужно. Ведь именно это следует из первого закона движения Галилея. Если на тело не действует никакая сила, то оно продолжает двигаться по прямой с постоянной скоростью. Правда, в законе речь идет о прямолинейном движении. А Луна и планеты движутся криволинейно. Значит, сила нужна не для того, чтобы планеты двигались вообще, а лишь для того, чтобы искривить траекторию их движения! Что же это за сила? Откуда она взялась и чему равна? Не попробовать ли применить к полету по орбите второй закон движения: сила пропорциональна произведению массы на ускорение? Орбита Луны и других планет - почти окружность. Ускорение же равномерного движения по окружности всегда направлено к центру по радиусу и равно квадрату скорости, разделенному на этот радиус (v ²/R ). Тогда и сила должна иметь направление по радиусу к центру орбиты. То есть Луна в своем движении вокруг Земли должна постоянно испытывать ускорение в сторону нашей планеты. Иначе говоря, двигаясь свободно, прямолинейно в пространстве, Луна все время под действием какой-то силы падает на Землю. Падает, но никак не может упасть. Потому что в каждый последующий момент она, падая с прямолинейного пути, пролетает такое расстояние, что снова и снова оказывается на орбите. Так, как это показано на рисунке. А откуда берется эта сила? Вот тут-то и пришла очередь яблока.
Если Земля притягивает яблоко, заставляя его падать на поверхность планеты, то чем Луна хуже яблока? И Ньютон предположил, что именно тяжесть или - более привычно - вес Луны удерживает ее на орбите, не дает улететь в пространство. Дальше ход его рассуждений шел примерно в таком направлении: если бы Луна находилась, как яблоко, совсем близко к поверхности Земли, ускорение свободного падения у нее было бы такое же, как у яблока. То есть примерно 9,81 м/сек ². Но Луна - дальше. Какое же ускорение должна она иметь на своей орбите?.. Тут нужно было посчитать! Но для точных расчетов требовались и точные сведения об орбите Луны, о периоде ее обращения... Ньютон же наблюдениями не занимался. Приходилось обращаться с просьбами к королевскому астроному Флемстиду, который как раз в это время скрупулезно наблюдал движение нашего спутника. Однако упрямый и желчный королевский астроном вовсе не был намерен потакать «причудам мистера Ньютона», как он неоднократно выражался. Это приводило к осложнениям и неприятным спорам. Ньютон споров не любил. И тем не менее буквально ни один его самостоятельный научный шаг не обходился без дискуссии.
Вопросы связи силы тяжести с законами Кеплера стояли в центре внимания всего ученого общества того времени и вызывали к себе весьма ревнивое отношение со стороны многих джентльменов.
Однажды астроном Галлей встретился в лондонской кофейне с архитектором Реном - строителем знаменитого собора святого Павла в Лондоне - и Робертом Гуком, физиком, математиком, экспериментатором и теоретиком, которого вечно обуревали тысячи идей и ни одну из них он не доводил до конца. Разговор зашел о науке, о научных проблемах. Оказалось, что все трое отдали немало времени и сил одной и той же задаче - доказательству, что под действием силы тяжести, убывающей обратно пропорционально квадрату расстояний, движение небесных тел должно совершаться по эллиптическим орбитам. Но никто успехом похвастаться не мог. Тогда Рен, самый богатый из всех троих, чисто в английском вкусе, предложил на пари выплатить премию тому, кто решит проблему.
Как-то, зайдя к Ньютону, Галлей рассказал тому о споре и о пари, заключенном в кофейне. А когда через некоторое время случай снова привел молодого астронома в Кембридж, Ньютон сообщил ему, что решение задачи у него в руках. И ровно через месяц Галлей получил от Ньютона рукопись краткого мемуара с объяснением решения. По просьбе Ньютона мемуар этот не был напечатан в журнале Королевского общества, но его зарегистрировали на случай споров о приоритете.
Естественно, мы не можем восстановить все детали сложного логического пути, которым Ньютон пришел к закону всемирного тяготения. Но если вы любите математику, то можете попробовать самостоятельно разобраться в ходе конечных рассуждений великого физика. Для этого подведем краткий итог того, что было известно.
1. Ньютон знал примерное расстояние от Земли до Луны - шестьдесят земных радиусов.
2. Известно ему было и ускорение свободного падения тела у поверхности Земли - 9,81 м/сек ².
3. Знал он и замечательные законы Кеплера и Галилея.
4. Наконец, идея того, что тяготение между двумя небесными телами должно быть обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, витала в воздухе.
Вряд ли можно проследить точно тот путь, по которому мысль гения стремится к поставленной перед собой цели. Но попробуем вывести закон всемирного тяготения, используя только те данные, которые были известны Ньютону.
Итак, прежде всего некоторое допущение, для упрощения расчетов. Вы помните, что Кеплер доказал: орбиты планет - эллипсы. Но эллипсы с очень незначительными эксцентриситетами. Поэтому, ради простоты, примем их за окружности с Солнцем, расположенным точно в центре. И рассмотрим движение какой-то планеты, делающей один оборот по круговой орбите.
Прежде всего вспомним несколько формул из курса физики: скорость движения V прямо пропорциональна пути и обратно пропорциональна времени движения: V = S /T . Здесь путь планеты S (ее орбита) равен длине окружности S = 2πR . А время движения T есть время одного оборота (или период обращения). R - радиус-расстояние от планеты до Солнца. Подставив введенные обозначения, мы получим скорость движения планеты по орбите в виде формулы: V = 2πR /T .
Теперь найдем ускорение, которое испытывает наша планета, двигаясь по круговой орбите: a = 2πV /T .
Объединив два последних уравнения, получим формулу для ускорения в виде: a = 4π²R /T ².
Вот когда можно переходить к главной задаче - искать выражение для силы F , создающей найденное нами ускорение a .
Согласно закону, выведенному самим Ньютоном, сила равна произведению ускорения тела на его массу m 1 ; F = a ·m 1 . Подставив в эту формулу выражение для полученного нами ускорения, мы получим: F = (4π²R /T ²) ·m 1 . Чтобы исключить из уравнения период и выразить силу только через массу и расстояние, Ньютон использовал третий закон Кеплера, гласящий, что квадраты времен обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы их средних расстояний от Солнца. Что на языке математики имеет вид: R 1 3 /R 2 3 = T 1 2 /T 2 2 . Из этого закона легко понять, что отношение куба расстояния к квадрату периода обращения - величина постоянная. Обозначим ее k , тогда: R 1 3 /T 1 2 = k , или T ² = R 1 3 /k . Выражение T ² подставим в уравнение для силы притяжения: F = 4π²k (m 1 /R 1 2)). Мы получили математическое выражение закона обратных квадратов. Но это еще не закон всемирного тяготения. Еще нужно решить, что представляет собой множитель k .
Из третьего закона Кеплера видно, что величина этого множителя одна и та же для любой планеты, обращающейся вокруг Солнца. Значит, и зависеть этот коэффициент может только от Солнца как центрального тела системы. Тогда силу притяжения между Солнцем и нашей планетой с массой m 1 можно выразить тем же уравнением, но с солнечным коэффициентом k⊙:F = (4π²k ⊙/R 1 2)·m 1 .
Ньютон первым предположил, что величина 4π²k ⊙ пропорциональна массе Солнца, скажем, так: 4π²k ⊙ = Gm ⊙, где m ⊙ - масса Солнца, а G - коэффициент пропорциональности.
Таким образом, уравнение взаимного притяжения между Солнцем и выбранной нами планетой будет иметь вид: F 1 = G ((m ⊙·m 1)/R 1 2). Точно так же для Солнца и Земли: F 2 = G ((m ⊙·m ⊕)/R ⊕ 2).
Но чем отличается, например, система Солнце - Земля от системы Земля - Луна? В принципе ничем. То же центральное тело, вокруг которого обращается другое небесное тело. Значит, для системы Земля - Луна тоже должно быть справедливо уравнение, выведенное раньше.
Только массы и расстояния нужно подставить в него другие...
Наконец наступила пора перейти к закону всемирного тяготения и написать его в общем виде для любых двух тел во Вселенной: F = G ((m 1 ·m 2)/R 2).
Вот какой примерно путь нужно было проделать только формально, чтобы, имея под рукой готовые формулы и точно зная направление, сформулировать величайший фундаментальный закон природы.
Зная расстояние от Земли до Луны и ускорение силы тяжести на поверхности нашей планеты, Ньютон нашел ускорение Луны. Сравнив его с точными наблюдениями Флемстида, он убедился, что его результат весьма близок к истине.
Год спустя после появления мемуара «О движении», в большой степени благодаря убеждениям и уговорам Галлея, появилась сначала рукопись, а затем и первая книга манускрипта, названного Ньютоном «Математические начала натуральной философии».
Сэр Исаак разработал руду, которую я откопал, - ядовито, хотя и не без горечи заметил Флемстид.
Если он откопал руду, то я смастерил из нее золотое кольцо, - отпарировал Ньютон, который, несмотря на нелюбовь к спорам, еще меньше любил, когда о его работе отзывались без должного уважения и последнее слово в дискуссии оставалось за противником.
Ньютоновские «Начала» были удивительной книгой. «По убедительности аргументации, подкрепленной физическими доказательствами, книга эта не имеет себе равных во всей истории науки, - пишет Джон Бернал. - В математическом отношении ее можно сравнить только с «Элементами» Евклида, а по глубине физического анализа и влиянию на идеи того времени - только с «Происхождением видов» Дарвина».
Решающий вывод о том, что сила, заставляющая тела падать на Землю, и сила, заставляющая Луну обращаться вокруг нашей планеты, одна и та же, имел большое философское значение.
Три основных закона механики и закон всемирного тяготения оказались универсальными для Земли и для неба. Это еще раз подчеркивало единство мира, который некогда делился философами на две несовместимые части - земную и небесную.
Принципы Ньютона без дополнительных условий, гипотез и допущений объясняли движения тел в космосе и на Земле. И все-таки теория всемирного тяготения не сразу завоевала всеобщее признание. Во Франции, да и в самой Англии, еще долгое время пользовались учебниками, построенными на взглядах Декарта.
В заключение можно сказать, что скорее Луна, а не знаменитое яблоко, подтолкнула мысль Ньютона к созданию теории тяготения. Но только «подтолкнула», потому что одна лишь теория движения Луны дать закон ВСЕМИРНОГО тяготения не могла. Она была бы недостаточно убедительной. Следовало распространить выведенный закон и на остальные небесные тела. Но для этого надо было доказать, что планеты удерживает на орбитах та же сила. Исходя из гипотезы о всемирном притяжении Ньютон математически строго вывел законы Кеплера и подтвердил стройную кеплеровскую картину мироздания. Отныне одним и тем же законам подчинялись и планеты, и их спутники, даже редкие гости - «вестники ужаса» - кометы. Отныне все небесные тела двигались по единой рациональной схеме.
Согласитесь, дорогой читатель, что большего требовать от человека, даже такого, как Ньютон, невозможно.
Исследуя движение Луны, он пришел к выводу, что на нее действует не только земное притяжение. Многие силы отклоняли ее с пути равномерного кругового движения. Так, при новолунии наш спутник на расстояние диаметра орбиты ближе к Солнцу, чем при полнолунии. Значит, сила солнечного притяжения меняется, и это ведет к замедлению и ускорению движения Луны в течение месяца. Кроме того, зимой Земля ближе к Солнцу, чем летом. Это тоже влияет на скорость движения Луны, но уже с годичным периодом.
Изменение солнечного притяжения меняет эллиптичность лунной орбиты, отклоняет ее плоскость, заставляя ее медленно вращаться.
Разработать теорию движения Луны полностью, во всех деталях, то есть рассчитать траекторию нашего спутника с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца, чрезвычайно трудно. Это знаменитая в истории астрономии «проблема трех тел»... Задача, сыгравшая огромную роль в развитии и становлении теоретической «астрономии тяготения», превратившейся в широкую отрасль науки, называемую «небесной механикой».
Открыть свои замечательные законы движения планет удалось Кеплеру лишь потому, что масса Солнца во много раз больше массы всех планет (примерно в 750 раз). Поэтому влияние планет друг на друга несравнимо меньше, чем влияние центрального светила. Фактически, в первом приближении, рассматривать движение каждой планеты можно вообще не обращая внимания на существование остальных членов солнечного семейства. Только планета и Солнце, и тогда это - «задача двух тел», решение которой относительно несложно.
Слово «относительно» здесь не случайно, потому что вы, наверное, помните, что Кеплер, решив задачу практически, так и не смог объяснить, почему небесные тела движутся по эллиптическим орбитам. Ньютон заново четко сформулировал условия «задачи двух тел» и очень изящно решил ее. Он доказал, что «под действием силы взаимного тяготения, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния, одно тело будет описывать вокруг другого конические сечения - эллипс, параболу или гиперболу, в зависимости от начальной скорости».
Решение Ньютона приближенное. Стоит добавить в условия влияние третьего тела, как задача неимоверно усложнится. Ньютон первым понял это, и именно ему принадлежит честь формулировки «задачи трех тел». Однако решить ее не смог даже он.
Немало людей бралось за нее в дальнейшем, но лишь в 1912 году финскому математику Сундману удалось получить впервые решение «задачи трех тел» в виде так называемых бесконечных рядов. К сожалению, это сложное теоретическое решение почти ничего не дает практике. Между тем сегодня, в век развития космонавтики, «задача трех тел» приобретает особое значение. И, судя по успехам полетов советских автоматических межпланетных станций, вы понимаете, что она решается, и решается неплохо. Но достигается это большим трудом и только с помощью таких замечательных помощников человека, как электронные счетные машины.
Решил Ньютон и другую, чрезвычайно интересную задачу. Он сравнил силу притяжения одних тел другими с силой притяжения Луны Землей и узнал, например, во сколько раз Солнце или Юпитер тяжелее Земли. Он оценил массы Солнца и всех известных ему планет и их спутников в единицах массы нашей планеты! Это было замечательным достижением гениального ученого.
Не все идеи Ньютона получали безоговорочное признание. Интересен спор, который возник между английскими и французскими астрономами по поводу формы Земли. Начался он с того, что в 1671 году французская астрономическая экспедиция отправилась к экватору, чтобы в условиях темного безоблачного неба наблюдать звезды. Но славу экспедиции принесло другое, совершенно случайное открытие. Для измерений времени при наблюдениях астроном Рише - один из членов экспедиции - захватил с собой из Франции маятниковые часы. Прибыв в Кайенну, Рише заметил, что часы стали отставать в сутки на две минуты. Пришлось укоротить маятник. Однако по возвращении в Париж часы «побежали», опережая истинное время опять на две минуты. Рише задумался и пришел к выводу, что на экваторе центробежная сила уменьшает тяготение.
Ньютон не мог согласиться с таким утверждением. Зная радиус Земли и скорость ее вращения, центробежную силу трудно вычислить. Она получалась значительно меньшей, чем нужно для объяснения опыта с маятником.
Обдумывая этот вопрос, Ньютон произвел мысленный эксперимент. «Предположим, - говорил он себе, - что у нас есть две шахты. Одна - от полюса к центру Земли, другая - от экватора к центру. Заполним обе шахты водой. Однако, поскольку Земля вращается, на экваторе действует еще и центростремительная сила. Значит, вес воды в экваториальной шахте должен быть больше, чем в полярной. А это значит, что и воды там должно быть больше. Но если обе шахты - от поверхности до центра, следовательно, радиус Земли по экватору должен быть больше радиуса полярного». Ньютон подсчитал разницу и получил примерно 24 километра . Это навело его на мысль, что некогда, на заре возникновения, Земля была пластичной. В результате вращения ее тело сплюснулось...
Примерно в то же время французские астрономы предприняли измерение дуги меридиана. Экспедиции вели работы на разных широтах и в результате пришли к выводу, что Земля не сплюснута у полюсов, а, наоборот, вытянута. Французы вообще довольно долго не признавали взглядов Ньютона, отдавая предпочтение философии своего соотечественника Декарта. В конце концов, разногласия точек зрения зашли так далеко, что вызвали насмешку остроумного Вольтера. Вот что писал он в 1730 году в своих «Письмах из Лондона об английском»:
«Француз, который попадет в Лондон, обнаруживает, что все совершенно изменилось в философии - точно так же, как и во всем другом. Там он оставил заполненный мир, здесь - нашел его пустым. В Париже вы видели Вселенную, наполненную круговыми вихрями из тончайшей материи, в Лондоне вы ничего этого не видите. У французов давление Луны вызывает приливы на море, у англичан море притягивается к Луне...
Кроме того, вы можете заметить, что Солнце, которое во Франции в это дело не вмешивается, здесь вносит в него свою четвертую часть. У картезианцев все происходит благодаря давлению, которое, правда, само непонятно. У месье Ньютона все происходит благодаря притяжению, причина которого известна ничуть не лучше. В Париже Земле придают форму дыни, в Лондоне она сплюснута у полюсов».
Впрочем, этот сарказм не помешал Вольтеру в специальном сочинении «Элементы философии Ньютона» блестяще рассказать о сути ньютоновской теории и стать горячим пропагандистом идей Ньютона у себя на родине.
Для разрешения споров о форме нашей планеты понадобились новые тщательные исследования и измерения Земли. Французская академия снарядила две новые экспедиции. Одну - в Перу, другую - в Лапландию. Результаты их работ подтвердили правоту Ньютона.
С помощью таких же рассуждений доказал Ньютон и сплюснутость Юпитера. Более того, поскольку гигантская планета вращается быстрее Земли, то и сжата она у полюсов должна быть сильнее.
Прошло всего четыре года после выхода «Начал» - и это утверждение Ньютона было подтверждено путем наблюдений...
Ньютон занимался и вопросом о «маленьких лунах».
Проделаем еще один мысленный эксперимент. На вершине горы установим пушку и начнем из нее стрелять, посылая снаряды параллельно земной поверхности. Если заряд мал, снаряд летит медленно и падает, как нам кажется, на поверхность по параболе, фокус которой находится близко к вершине горы. На самом же деле траектория падения снаряда - эллипс, второй фокус которого в центре Земли. Различить параболу и эллипс на малом участке траектории очень трудно.
Если увеличить заряд и придать снаряду большую скорость, он полетит вокруг Земли по круговой орбите, наподобие Луны, став спутником нашей планеты. Если начальную скорость полета еще и еще увеличивать, траектория снаряда будет представлять собой последовательно сначала эллипс, с ближайшим фокусом в центре Земли, потом гигантскую параболу и наконец гиперболу. В последнем случае снаряд навсегда покинет Землю и уйдет в космическое пространство. Скорость «убегания» нетрудно рассчитать. И вы, конечно, сами понимаете, насколько такие расчеты важны в наше время.
Примечания
По современным данным разница между экваториальным и полярным радиусами Земли составляет чуть больше 21 километра.
Свои труды Декарт подписывал на латинский манер именем Картезий, потому и называли сторонников его учения - картезианцами.
Вы уже знаете, что между всеми телами действуют силы притяжения, называемые силами всемирного тяготения .
Их действие проявляется, например, в том, что тела падают на Землю, Луна вращается вокруг Земли, а планеты вращаются вокруг Солнца. Если бы силы тяготения исчезли, Земля улетела бы от Солнца (рис. 14.1).
Закон всемирного тяготения сформулировал во второй половине 17-го века Исаак Ньютон.
Две материальные точки массой m 1 и m 2 находящиеся на расстоянии R, притягиваются с силами, прямо пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними
. Модуль каждой силы
Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоянной . (От латинского «гравитас» - тяжесть.) Измерения показали, что
G = 6,67 * 10 -11 Н * м 2 /кг 2 . (2)
Закон всемирного тяготения раскрывает еще одно важное свойство массы тела: она является мерой не только инертности тела, но и его гравитационных свойств.
1. Чему равны силы притяжения двух материальных точек массой 1 кг каждая, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга? Во сколько раз эта сила больше или меньше веса комара, масса которого 2,5 мг?
Столь малое значение гравитационной постоянной объясняет, почему мы не замечаем гравитационного притяжения между окружающими нас предметами.
Силы тяготения заметно проявляют себя только тогда, когда хотя бы одно из взаимодействующих тел имеет огромную массу – например, является звездой или планетой.
3. Как изменится сила притяжения между двумя материальными точками, если расстояние между ними увеличить в 3 раза?
4. Две материальные точки массой m каждая притягиваются с силой F. С какой силой притягиваются материальные точки массой 2m и Зm, находящиеся на таком же расстоянии?
2. Движение планет вокруг Солнца
Расстояние от Солнца до любой планеты во много раз больше размеров Солнца и планеты. Поэтому при рассмотрении движения планет их можно считать материальными точками. Следовательно, сила притяжения планеты к Солнцу
где m – масса планеты, M С – масса Солнца, R – расстояние от Солнца до планеты.
Будем считать, что планета движется вокруг Солнца равномерно по окружности. Тогда скорость движения планеты можно найти, если учесть, что ускорение планеты a = v 2 /R обусловлено действием силы F притяжения Солнца и тем, что согласно второму закону Ньютона F = ma.
5. Докажите, что скорость планеты
чем больше радиус орбиты, тем меньше скорость планеты .
6. Радиус орбиты Сатурна примерно в 9 раз больше радиуса орбиты Земли. Найдите устно, чему примерно равна скорость Сатурна, если Земля движется по своей орбите со скоростью 30 км/с?
За время, равное одному периоду обращения T, планета, двигаясь со скоростью v, проходит путь, равный длине окружности радиуса R.
7. Докажите, что период обращения планеты
Из этой формулы следует, что чем больше радиус орбиты, тем больше период обращения планеты .
9. Докажите, что для всех планет Солнечной системы
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (5).
Из формулы (6) следует, что для всех планет Солнечной системы отношение куба радиуса орбиты к квадрату периода обращения одинаково
. Эту закономерность (ее называют третьим законом Кеплера) обнаружил немецкий ученый Иоганн Кеплер на основании результатов многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге.
3. Условия применимости формулы для закона всемирного тяготения
Ньютон доказал, что формулу
F = G(m 1 m 2 /R 2)
для силы притяжения двух материальных точек можно применять также:
– для однородных шаров и сфер (R – расстояние между центрами шаров или сфер, рис. 14.2, а);
– для однородного шара (сферы) и материальной точки (R – расстояние от центра шара (сферы) до материальной точки, рис. 14.2, б).
4. Сила тяжести и закон всемирного тяготения
Второе из приведенных выше условий означает, что по формуле (1) можно найти силу притяжения тела любой формы к однородному шару, который намного больше этого тела. Поэтому по формуле (1) можно рассчитать силу притяжения к Земле тела, находящегося на ее поверхности (рис. 14.3, а). Мы получим выражение для силы тяжести:
(Земля не является однородным шаром, но ее можно считать сферически симметричной. Этого достаточно для возможности применения формулы (1).)
10. Докажите, что вблизи поверхности Земли
Где M Зем – масса Земли, R Зем – ее радиус.
Подсказка. Используйте формулу (7) и то, что F т = mg.
Пользуясь формулой (1), можно найти ускорение свободного падения на высоте h над поверхностью Земли (рис. 14.3, б).
11. Докажите, что
12. Чему равно ускорение свободного падения на высоте над поверхностью Земли, равной ее радиусу?
13. Во сколько раз ускорение свободного падения на поверхности Луны меньше, чем на поверхности Земли?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (8), в которой массу и радиус Земли замените на массу и радиус Луны.
14. Радиус звезды белый карлик может быть равен радиусу Земли, а ее масса – равной массе Солнца. Чему равен вес килограммовой гири на поверхности такого «карлика»?
5. Первая космическая скорость
Представим себе, что на очень высокой горе установили огромную пушку и стреляют из нее в горизонтальном направлении (рис. 14.4).
Чем больше начальная скорость снаряда, тем дальше он упадет. Он не упадет вообще, если подобрать его начальную скорость так, чтобы он двигался вокруг Земли по окружности. Летя по круговой орбите, снаряд станет тогда искусственным спутником Земли.
Пусть наш снаряд-спутник движется по низкой околоземной орбите (так называют орбиту, радиус которой можно принять равным радиусу Земли R Зем).
При равномерном движении по окружности спутник движется с центростремительным ускорением a = v2/RЗем, где v – скорость спутника. Это ускорение обусловлено действием силы тяжести. Следовательно, спутник движется с ускорением свободного падения, направленным к центру Земли (рис. 14.4). Поэтому a = g.
15. Докажите, что при движении по низкой околоземной орбите скорость спутника
Подсказка. Воспользуйтесь формулой a = v 2 /r для центростремительного ускорения и тем, что при движении по орбите радиуса R Зем ускорение спутника равно ускорению свободного падения.
Скорость v 1 , которую необходимо сообщить телу, чтобы оно двигалось под действием силы тяжести по круговой орбите вблизи поверхности Земли, называют первой космической скоростью. Она примерно равна 8 км/с.
16. Выразите первую космическую скорость через гравитационную постоянную, массу и радиус Земли.
Подсказка. В формуле, полученной при выполнении предыдущего задания, замените массу и радиус Земли на массу и радиус Луны.
Чтобы тело навсегда покинуло окрестности Земли, ему надо сообщить скорость, равную примерно 11,2 км/с. Ее называют второй космической скоростью.
6. Как измерили гравитационную постоянную
Если считать известными ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, массу и радиус Земли, то значение гравитационной постоянной G можно легко определить с помощью формулы (7). Проблема, однако, в том, что до конца 18-го века массу Земли измерить не удавалось.
Поэтому, чтобы найти значение гравитационной постоянной G, надо было измерить силу притяжения двух тел известной массы, находящихся на определенном расстоянии друг от друга. В конце 18-го века такой опыт смог поставить английский ученый Генри Кавендиш.
Он подвесил на тонкой упругой нити легкий горизонтальный стержень с небольшими металлическими шарами a и b и по углу поворота нити измерил силы притяжения, действующие на эти шары со стороны больших металлических шаров А и В (рис. 14.5). Малые углы поворота нити ученый измерял по смещению «зайчика» от прикрепленного к нити зеркальца.
Этот опыт Кавендиша образно назвали «взвешиванием Земли», потому что этот опыт впервые позволил измерить массу Земли.
18. Выразите массу Земли через G, g и R Зем.
Дополнительные вопросы и задания
19. Два корабля массой 6000 т каждый притягиваются с силами по 2 мН. Каково расстояние между кораблями?
20. С какой силой Солнце притягивает Землю?
21. С какой силой человек массой 60 кг притягивает Солнце?
22. Чему равно ускорение свободного падения на расстоянии от поверхности Земли, равном ее диаметру?
23. Во сколько раз ускорение Луны, обусловленное притяжением Земли, меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли?
24. Ускорение свободного падения на поверхности Марса в 2,65 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли. Радиус Марса приближенно равен 3400 км. Во сколько раз масса Марса меньше массы Земли?
25. Чему равен период обращения искусственного спутника Земли на низкой околоземной орбите?
26. Чему равна первая космическая скорость для Марса? Масса Марса 6,4 * 10 23 кг, а радиус 3400 км.