Формулы для вычисления вероятности событий
1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
Предположим, что некоторый эксперимент можно проводить неоднократно при одних и тех же условиях. Пусть этот опыт производится n раз, т. е. проводится последовательность из n испытаний.
Определение. Последовательность n испытаний называют взаимно независимой , если любое событие, связанное с данным испытанием, не зависит от любых событий, относящихся к остальным испытаниям.
Допустим, что некоторое событие A может произойти с вероятностью p в результате одного испытания или не произойти с вероятностью q = 1- p .
Определение . Последовательность из n испытаний образует схему Бернулли, если выполняются следующие условия:
последовательность n испытаний взаимно независима,
2) вероятность события A не изменяется от испытания к испытанию и не зависит от результата в других испытаниях.
Событие A называют “ успехом” испытания, а противоположное событие - “неудачей”. Рассмотрим событие
={
в n
испытаниях произошло ровно m
“успехов”}.
Для вычисления вероятности этого события справедлива формула Бернулли
p
(
)
=
, m
= 1, 2, …, n
, (1.6)
где
- число сочетаний из n
элементов по m
:
=
=
.
Пример 1.16. Три раза подбрасывают кубик. Найти:
а) вероятность того, что 6 очков выпадет два раза;
б) вероятность того, что число шестерок не появится более двух раз.
Решение . “Успехом” испытания будем считать выпадение на кубике грани с изображением 6 очков.
а)
Общее число испытаний – n
=3,
число “успехов” – m
=
2. Вероятность “успеха” - p
=
,
а вероятность “неудачи” - q
=
1 -
=.
Тогда по формуле Бернулли вероятность
того, что результате трехразового
бросания кубика два раза выпадет сторона
с шестью очками, будет равна
.
б)
Обозначим через А
событие, которое заключается в том, что
грань с числом очков 6 появится не более
двух раз. Тогда событие можно представить
в виде суммы
трех несовместных
событий А=
,
где В 3 0 – событие, когда интересующая грань ни разу не появится,
В 3 1 - событие, когда интересующая грань появится один раз,
В 3 2 - событие, когда интересующая грань появится два раза.
По формуле Бернулли (1.6) найдем
p
(А
)
=
р (
)
=
p
(
)=
+
+
=
=
.
1.3.2. Условная вероятность события
Условная вероятность отражает влияние одного события на вероятность другого. Изменение условий, в которых проводится эксперимент, также влияет
на вероятность появления интересующего события.
Определение. Пусть A и B – некоторые события, и вероятность p (B )> 0.
Условной вероятностью события A при условии, что “событие B уже произошло” называется отношение вероятности произведения данных событий к вероятности события, которое произошло раньше, чем событие, вероятность которого требуется найти. Условная вероятность обозначается как p (A B ). Тогда по определению
p
(A
B
)
=
.
(1.7)
Пример 1.17. Подбрасывают два кубика. Пространство элементарных событий состоит из упорядоченных пар чисел
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6).
В примере 1.16 было установлено, что событие A ={число очков на первом кубике > 4} и событие C ={сумма очков равна 8} зависимы. Составим отношение
.
Это отношение можно интерпретировать следующим образом. Допустим, что о результате первого бросания известно, что число очков на первом кубике > 4. Отсюда следует, что бросание второго кубика может привести к одному из 12 исходов, составляющих событие A :
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) .
При
этом событию C
могут соответствовать только два из
них (5,3) (6,2). В этом случае вероятность
события C
будет
равна
.
Таким образом, информация о наступлении
событияA
оказала влияние на вероятность события
C
.
Вероятность произведения событий
Теорема умножения
Вероятность произведения событий A 1 A 2 A n определяется формулой
p (A 1 A 2 A n ) = p (A 1) p (A 2 A 1)) p (A n A 1 A 2 A n- 1). (1.8)
Для произведения двух событий отсюда следует, что
p (AB ) = p (A B) p {B ) = p (B A ) p {A ). (1.9)
Пример 1.18. В партии из 25 изделий 5 изделий бракованных. Последовательно наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что все выбранные изделия бракованные.
Решение. Обозначим события:
A 1 = {первое изделие бракованное},
A 2 = {второе изделие бракованное},
A 3 = {третье изделие бракованное},
A = {все изделия бракованные}.
Событие А есть произведение трех событий A = A 1 A 2 A 3 .
Из теоремы умножения (1.6) получим
p (A ) = р( A 1 A 2 A 3 ) = p (A 1) p (A 2 A 1))p (A 3 A 1 A 2).
Классическое определение вероятности позволяет найти p (A 1) – это отношение числа бракованных изделий к общему количеству изделий:
p
(A
1)=
;
p (A 2) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия одного, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
2
A
1))=
;
p (A 3) – это отношение числа бракованных изделий, оставшихся после изъятия двух бракованных, к общему числу оставшихся изделий:
p
(A
3
A
1 A
2)=
.
Тогда вероятность события A будет равна
p
(A
)
=
=
.
Профессиональный беттер должен хорошо ориентироваться в коэффициентах, быстро и правильно оценивать вероятность события по коэффициенту и при необходимости уметь перевести коэффициенты из одного формата в другой . В данном мануале мы расскажем о том, какие бывают виды коэффициентов, а так же на примерах разберём, как можно высчитывать вероятность по известному коэффициенту и наоборот.
Какие бывают типы коэффициентов?
Существует три основных вида коэффициентов, которые предлагают игрокам букмекеры: десятичные коэффициенты , дробные коэффициенты (английские) и американские коэффициенты . Наиболее распространённые коэффициенты в Европе - десятичные. В Северной Америке популярны американские коэффициенты. Дробные коэффициенты - наиболее традиционный вид, они сразу же отражают информацию о том сколько нужно поставить, чтобы получить определённую сумму.
Десятичные коэффициенты
Десятичные или еще их называют европейские коэффициенты - это привычный формат числа, представленный десятичной дробью с точностью до сотых, а иногда даже до тысячных. Пример десятичного коэффициента - 1.91. Рассчитать прибыль в случае с десятичными коэффициентами очень просто, достаточно лишь умножить сумму вашей ставки на этот коэффициент. Например, в матче "Манчестер Юнайтед" - "Арсенал" победа "МЮ" выставлена с коэффициентом - 2.05, ничья оценена коэффициентом - 3.9, а победа "Арсенала" равняется - 2.95. Предположим, что мы уверены в победе "Юнайтед" и ставим на них 1000 долларов. Тогда наш возможный доход рассчитывается следующим образом:
2.05 * $1000 = $2050;
Правда ведь ничего сложного?! Точно так же рассчитывается возможный доход при ставке на ничью и победу "Арсенала".
Ничья: 3.9 * $1000 = $3900;
Победа "Арсенала": 2.95 * $1000 = $2950;
Как рассчитать вероятность события по десятичным коэффициентам?
Представим теперь что нам нужно определить вероятность события по десятичным коэффициентам, которые выставил букмекер. Делается это так же очень просто. Для этого мы единицу делим на этот коэффициент.
Возьмем уже имеющиеся данные и посчитаем вероятность каждого события:
Победа "Манчестер Юнайтед": 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Ничья: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Победа "Арсенала": 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;
Дробные коэффициенты (Английские)
Как понятно из названия дробный коэффициент представлен обыкновенной дробью. Пример английского коэффициента - 5/2. В числителе дроби находиться число, являющееся потенциальной суммой чистого выигрыша, а в знаменателе расположено число обозначающее сумму которую нужно поставить, чтобы этот выигрыш получить. Проще говоря, мы должны поставить $2 доллара, чтобы выиграть $5. Коэффициент 3/2 означает что для того чтобы получить $3 чистого выигрыша нам придётся сделать ставку в размере $2.
Как рассчитать вероятность события по дробным коэффициентам?
Вероятность события по дробным коэффициентам рассчитать так же не сложно, нужно всего на всего разделить знаменатель на сумму числителя и знаменателя.
Для дроби 5/2 рассчитаем вероятность: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
Для дроби 3/2 рассчитаем вероятность:
Американские коэффициенты
Американские коэффициенты в Европе непопулярны, зато в Северной Америке очень даже. Пожалуй, данный вид коэффициентов самый сложный, но это только на первый взгляд. На самом деле и в этом типе коэффициентов ничего сложного нет. Сейчас во всем разберёмся по порядку.
Главной особенностью американских коэффициентов является то, что они могут быть как положительными , так и отрицательными . Пример американских коэффициентов - (+150), (-120). Американский коэффициент (+150) означает, что для того чтобы заработать $150 нам нужно поставить $100. Иными словами положительный американский коэффициент отражает потенциальный чистый заработок при ставке в $100. Отрицательный же американский коэффициент отражает сумму ставки, которую необходимо сделать для того чтобы получить чистый выигрыш в $100. Например коэффициент (- 120) нам говорит о том, что поставив $120 мы выиграем $100.
Как рассчитать вероятность события по американским коэффициентам?
Вероятность события по американскому коэффициенту считается по следующим формулам:
(-(M)) / ((-(M)) + 100)
, где M - отрицательный американский коэффициент;
100 / (P + 100)
, где P - положительный американский коэффициент;
Например, мы имеем коэффициент (-120), тогда вероятность рассчитывается так:
(-(M)) / ((-(M)) + 100); подставляем вместо "M" значение (-120);
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;
Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (-120) равна 54,5%.
Например, мы имеем коэффициент (+150), тогда вероятность рассчитывается так:
100 / (P + 100); подставляем вместо "P" значение (+150);
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;
Таким образом, вероятность события с американским коэффициентом (+150) равна 40%.
Как зная процент вероятности перевести его в десятичный коэффициент?
Для того чтобы рассчитать десятичный коэффициент по известному проценту вероятности нужно 100 разделить на вероятность события в процентах. Например, вероятность события составляет 55%, тогда десятичный коэффициент этой вероятности будет равен 1,81.
100 / 55% = 1,81
Как зная процент вероятности перевести его в дробный коэффициент?
Для того чтобы рассчитать дробный коэффициент по известному проценту вероятности нужно от деления 100 на вероятность события в процентах отнять единицу. Например, имеем процент вероятности 40%, тогда дробный коэффициент этой вероятности будет равен 3/2.
(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Дробный коэффициент равен 1,5/1 или 3/2.
Как зная процент вероятности перевести его в американский коэффициент?
Если вероятность события больше 50%, то расчёт производится по формуле:
- ((V) / (100 - V)) * 100, где V - вероятность;
Например, имеем вероятность события 80%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (-400).
- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);
В случае если вероятность события меньше 50%, то расчёт производиться по формуле:
((100 - V) / V) * 100 , где V - вероятность;
Например, имеем процент вероятности события 20%, тогда американский коэффициент этой вероятности будет равен (+400).
((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;
Как перевести коэффициент в другой формат?
Бывают случаи, когда необходимо перевести коэффициенты из одного формата в другой. Например, у нас есть дробный коэффициент 3/2 и нам нужно перевести его в десятичный. Для перевода дробного коэффициента в десятичный мы сначала определяем вероятность события с дробным коэффициентом, а затем эту вероятность переводим в десятичный коэффициент.
Вероятность события с дробным коэффициентом 3/2 равна 40%.
2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;
Теперь переведём вероятность события в десятичный коэффициент, для этого 100 делим на вероятность события в процентах:
100 / 40% = 2.5;
Таким образом, дробный коэффициент 3/2 равен десятичному коэффициенту 2.5. Аналогичным образом переводятся, например, американские коэффициенты в дробные, десятичные в американские и т.д. Самое сложное во всём этом лишь расчёты.
Вероятностью
события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilite - вероятность). В соответствии с определением
(1.2.1)
где - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.
Вероятность события имеет следующие свойства:
1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозначим достоверное событие буквой . Для достоверного события , поэтому
(1.2.2)
2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой . Для невозможного события , поэтому
(1.2.3)
3. Вероятность случайного события выражается положительным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события выполняются неравенства , или , то
(1.2.4)
4. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам
(1.2.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) -(1.2.4).
Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?
Решение
. Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем
Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того,что число на взятой карточке окажется кратным 5?
Решение.
Обозначим через А событие "число на взятой карточке кратно 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно, 
Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.
Решение.
В этом испытании всего 6 2 = 36 равновозможных элементарных исходов. Событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому
Пример 4 . Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?
Решение.
Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае n = 10, m = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность
Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?
Решение.
Обозначим буквой D событие "на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) означает, что на первой монете герб, на второй - цифра). Событию D благоприятствует один элементарный исход (Ц, Ц). Поскольку m = 1, n = 4 , то
Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
Решение.
Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае m = 9, n = 90, то
,
где А -событие "число с одинаковыми цифрами".
Пример 7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч ?
Решение
. В слове дuфференцuал 12 букв, из них 5 гласных и 7 согласных. Буквы ч
в этом слове нет. Обозначим события: А - "гласная буква", В - "согласная буква", С - "буква ч
". Число благоприятствующих элементарных исходов: -для события А, - для события В, - для события С. Поскольку n = 12 , то
, и .
Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.
Решение.
Обозначим это событие буквой А. Событюо А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае n=6 2 =36. Значит, искомая вероятность 
Пример 9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?
Решение.
Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет n = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5k, где k -натуральное число, причем , откуда 
. Следовательно,
, где А - событие "страница" имеет порядковый номер, кратный 5".
Пример 10 . Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее -получить в сумме 7 или 8?
Решение
. Обозначим события: А - "выпало 7 очков", В - "выпало 8 очков". Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1; 6), (2; 5),(3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а событию В - 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всех равновозможных элементарных исходов n = 6 2 = 36. Значит, и .
Итак, Р(А)>Р(В), то есть получить в сумме 7 очков - более вероятное событие, чем получить в сумме 8 очков.
Задачи
1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?
2. В урне a
красных и b
голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?
3. Наудачу· выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем зо?
4. В урне а
голубых и b
красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.
5. Наудачу выбрано наryральное число, не превосходящее 50. Какова вероятность того, что это число является простым?
6. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 очков?
7. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11 (событие А) или 12 очков (событие В)?
Ответы
1. 1/3. 2 . b /(a +b ). 3 . 0,2. 4 . (b -1)/(a +b -1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятность получить в сумме 9 очков; p 2 = 27/216 - вероятность получить в сумме 10 очков; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).
Вопросы
1. Что называют вероятностью события?
2. Чему равна вероятность достоверного события?
3. Чему равна вероятность невозможного события?
4. В каких пределах заключена вероятность случайного события?
5. В каких пределах заключена вероятность любого события?
6. Какое определение вероятности называют классическим?
как онтологическая категория отражает меру возможности возникновения какого-либо сущего в каких-либо условиях. В отличие от математических и логической интерпретации этого понятия онтологическая В. не связывает себя с обязательностью количетвенного выражения. Значение В. раскрывается в контексте понимания детерминизма и характера развития в целом.
Отличное определение
Неполное определение ↓
ВЕРОЯТНОСТЬ
понятие, характеризующее количеств. меру возможности появления нек-рого события при определ. условиях. В науч. познании встречаются три интерпретации В. Классическая концепция В., возникшая из математич. анализа азартных игр и наиболее полно разработанная Б. Паскалем, Я. Бернулли и П. Лапласом, рассматривает В. как отношение числа благоприятствующих случаев к общему числу всех равновозможных. Напр., ири бросании игральной кости, имеющей 6 граней, выпадение каждой из них можно ожидать с В., равной 1/6, т. к. ни одна грань не имеет преимуществ перед другой. Подобная симметричность исходов опыта специально учитывается при организации игр, но сравнительно редко встречается при исследовании объективных событий в науке и практике. Классич. интерпретация В. уступила место статистич. концепции В., в основе к-рой лежат действит. наблюдения появления нек-рого события в ходе длит. опыта при точно фиксированных условиях. Практика подтверждает, что чем чаще происходит событие, тем больше степень объективной возможности его появления, или В. Поэтому статистич. интерпретация В. опирается на понятие относит. частоты, к-рое может быть определено опытным путем. В. как теоретич. понятие никогда не совпадает с эмпирически определяемой частотой, однако во мн. случаях она практически мало отличается от относит. частоты, найденной в результате длит. наблюдений. Многие статистики рассматривают В. как «двойник» относит. частоты, к-рая определяется при статистич. исследовании результатов наблюдений
или экспериментов. Менее реалистичным оказалось определение В. как предела относит. частот массовых событий, или коллективов, предложенное Р. Мизесом. В качестве дальнейшего развития частотного подхода к В. выдвигается диспозиционная, или пропенситивная, интерпретация В. (К. Поппер, Я. Хэккинг, М. Бунге, Т. Сетл). Согласно этой интерпретации, В. характеризует свойство порождающих условий, напр. эксперимент. установки, для получения последовательности массовых случайных событий. Именно такая установка порождает физич. диспозиции, или предрасположенности, В. к-рых может быть проверена с помощью относит. частот.
Статистич. интерпретация В. доминирует в науч. познании, ибо она отражает специфич. характер закономерностей, присущих массовым явлениям случайного характера. Во многих физич., биологич., экономич., демографич. и др. социальных процессах приходится учитывать действие множества случайных факторов, к-рые характеризуются устойчивой частотой. Выявление этой устойчивой частоты и количеств. ее оценка с помощью В. дает возможность вскрыть необходимость, к-рая прокладывает себе путь через совокупное действие множества случайностей. В этом находит свое проявление диалектика превращения случайности в необходимость (см. Ф. Энгельс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 20, с. 535-36).
Логическая, или индуктивная, В. характеризует отношение между посылками и заключением недемонстративного и, в частности, индуктивного рассуждения. В отличие от дедукции, посылки индукции не гарантируют истинности заключения, а лишь делают его в той или иной степени правдоподобным. Это правдоподобие при точно сформулированных посылках иногда можно оценивать с помощью В. Значение этой В. чаще всего определяется посредством сравнит. понятий (больше, меньше или равно), а иногда и численным способом. Логич. интерпретацию часто используют для анализа индуктивных рассуждений и построения различных систем вероятностных логик (Р. Карнап, Р. Джефри). В семантич. концепции логич. В. часто определяется как степень подтверждения одного высказывания другими (напр., гипотезы ее эмпирич. данными) .
В связи с развитием теорий принятия решений и игр все большее распростраиение получает т. н. персоналистская интерпретация В. Хотя В. при этом выражает степень веры субъекта и появление нек-рого события, сами В. должны выбираться с таким расчетом, чтобы удовлетворялись аксиомы исчисления В. Поэтому В. при такой интерпретации выражает не столько степень субъективной, сколько разумной веры. Следовательно, решения, принимаемые на основе такой В., будут рациональными, ибо они не учитывают психологич. особенностей и склонностей субъекта.
С гносеологич. т. зр. различие между статистич., логич. и персоналистской интерпретациями В. состоит в том, что если первая дает характеристику объективным свойствам и отношениям массовых явлений случайного характера, то последние две анализируют особенности субъективной, познават. деятельности людей в условиях неопределенности.
ВЕРОЯТНОСТЬ
одно из важнейших понятий науки, характеризующее особое системное видение мира, его строения, эволюции и познания. Специфика вероятностного взгляда на мир раскрывается через включение в число базовых понятий бытия понятий случайности, независимости и иерархии (идеи уровней в структуре и детерминации систем).
Представления о вероятности зародились еще в древности и относились к характеристике нашего знания, при этом признавалось наличие вероятностного знания, отличающегося от достоверного знания и от ложного. Воздействие идеи вероятности на научное мышление, на развитие познания прямо связано с разработкой теории вероятностей как математической дисциплины. Зарождение математического учения о вероятности относится к 17 в., когда было положено начало разработке ядра понятий, допускающих. количественную (числовую) характеристику и выражающих вероятностную идею.
Интенсивные приложения вероятности к развитию познания приходятся на 2-ю пол. 19- 1-ю пол. 20 в. Вероятность вошла в структуры таких фундаментальных наук о природе, как классическая статистическая физика, генетика, квантовая теория, кибернетика (теория информации). Соответственно вероятность олицетворяет тот этап в развитии науки, который ныне определяется как неклассическая наука. Чтобы раскрыть новизну, особенности вероятностного образа мышления, необходимо исходить из анализа предмета теории вероятностей и оснований ее многочисленных приложений. Теорию вероятностей обычно определяют как математическую дисциплину, изучающую закономерности массовых случайных явлений при определенных условиях. Случайность означает, что в рамках массовости бытие каждого элементарного явления не зависит и не определяется бытием других явлений. В то же время сама массовость явлений обладает устойчивой структурой, содержит определенные регулярности. Массовое явление вполне строго делится на подсистемы, и относительное число элементарных явлений в каждой из подсистем (относительная частота) весьма устойчиво. Эта устойчивость сопоставляется с вероятностью. Массовое явление в целом характеризуется распределением вероятностей, т. е. заданием подсистем и соответствующих им вероятностей. Язык теории вероятностей есть язык вероятностных распределений. Соответственно теорию вероятностей и определяют как абстрактную науку об оперировании распределениями.
Вероятность породила в науке представления о статистических закономерностях и статистических системах. Последние суть системы, образованные из независимых или квазинезависимых сущностей, их структура характеризуется распределениями вероятностей. Но как возможно образование систем из независимых сущностей? Обычно предполагается, что для образования систем, имеющих целостные характеристики, необходимо, чтобы между их элементами существовали достаточно устойчивые связи, которые цементируют системы. Устойчивость статистическим системам придает наличие внешних условий, внешнего окружения, внешних, а не внутренних сил. Само определение вероятности всегда опирается на задание условий образования исходного массового явления. Еще одной важнейшей идеей, характеризующей вероятностную парадигму, является идея иерархии (субординации). Эта идея выражает взаимоотношения между характеристиками отдельных элементов и целостными характеристиками систем: последние как бы надстраиваются над первыми.
Значение вероятностных методов в познании заключается в том, что они позволяют исследовать и теоретически выражать закономерности строения и поведения объектов и систем, имеющих иерархическую, «двухуровневую» структуру.
Анализ природы вероятности опирается на частотную, статистическую ее трактовку. Вместе с тем весьма длительное время в науке господствовало такое понимание вероятности, которое получило название логической, или индуктивной, вероятности. Логическую вероятность интересуют вопросы обоснованности отдельного, индивидуального суждения в определенных условиях. Можно ли оценить степень подтверждения (достоверности, истинности) индуктивного заключения (гипотетического вывода) в количественной форме? В ходе становления теории вероятностей такие вопросы неоднократно обсуждались, и стали говорить о степенях подтверждения гипотетических заключений. Эта мера вероятности определяется имеющейся в распоряжении данного человека информацией, его опытом, воззрениями на мир и психологическим складом ума. Во всех подобных случаях величина вероятности не поддается строгим измерениям и практически лежит вне компетенции теории вероятностей как последовательной математической дисциплины.
Объективная, частотная трактовка вероятности утверждалась в науке со значительными трудностями. Первоначально на понимание природы вероятности оказали сильное воздействие те философско-методологические взгляды, которые были характерны для классической науки. Исторически становление вероятностных методов в физике происходило под определяющим воздействием идей механики: статистические системы трактовались просто как механические. Поскольку соответствующие задачи не решались строгими методами механики, то возникли утверждения, что обращение к вероятностным методам и статистическим закономерностям есть результат неполноты наших знаний. В истории развития классической статистической физики предпринимались многочисленные попытки обосновать ее на основе классической механики, однако все они потерпели неудачу. Основания вероятности состоят в том, что она выражает собою особенности структуры определенного класса систем, иного, чем системы механики: состояние элементов этих систем характеризуется неустойчивостью и особым (не сводящимся к механике) характером взаимодействий.
Вхождение вероятности в познание ведет к отрицанию концепции жесткого детерминизма, к отрицанию базовой модели бытия и познания, выработанных в процессе становления классической науки. Базовые модели, представленные статистическими теориями, носят иной, более общий характер: они включают в себя идеи случайности и независимости. Идея вероятности связана с раскрытием внутренней динамики объектов и систем, которая не может быть всецело определена внешними условиями и обстоятельствами.
Концепция вероятностного видения мира, опирающаяся на абсолютизацию представлений о независимости (как и прежде парадигма жесткой детерминации), в настоящее время выявила свою ограниченность, что наиболее сильно сказывается при переходе современной науки к аналитическим методам исследования сложноорганизованных систем и физико-математических основ явлений самоорганизации.
Отличное определение
Неполное определение ↓
ТЕМА 1 . Классическая формула вычисления вероятности.
Основные определения и формулы:
Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).
Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием .
Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:
1.при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;
2.всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.
Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.
Р(А) = n (A ) / n ,
где n – общее число равновозможных исходов,
n (A ) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.
Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.
Решение типовых примеров
Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:
А – “все извлеченные шары красные”;
В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;
С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.
Решение:
Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная!) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).
Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n (A )== 10.
Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно= 1. Поэтому: n (B )=10+1=11.
Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n (C ) = = 3 * 7 = 21.
Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.
Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:
D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;
Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.
Решение:
Для вычисления n
(D
) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один
шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D
благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно
содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n
(D
) = 
P (D ) = 28/120.
Для вычисления n (Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:
1.один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;
2.два шара с номером 3 и один с меньшим номером.
Поэтому: n
(E
)=
Р(Е) = 36/120.
Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:
А – все частицы попали во вторую ячейку;
В – все частицы попали в одну ячейку;
С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M £ N );
D – все ячейки заняты (M =N +1);
Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.
Решение:
Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N *N *N *…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N M .
Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n (A ) = 1*1*…*1= 1 М = 1, и Р(А) = 1/ N M .
Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N -ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n (B )=1+1+…+1(N -раз)=N и Р(В)=N /N M .
Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:
n
(C
)
= N
*(N
-1)*…*(N
+M
-1) и Р(С) = 
В частном случае при M =N : Р(С)=
Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N -1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n (D ) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N -1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N -1) ячеек, для этого имеется (N -1)! способов.
Итак, n
(D
)
=
.
Число n (E ) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N -1) ячейке (N -1) М-К способами. Поэтому: