Дробь - число, которое состоит из целого числа долей единицы и представляется в виде: a/b
Числитель дроби (a) - число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.
Знаменатель дроби (b) - число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.
2. Приведение дробей к общему знаменателю
3. Арифметические действия над обыкновенными дробями
3.1. Сложение обыкновенных дробей
3.2. Вычитание обыкновенных дробей
3.3. Умножение обыкновенных дробей
3.4. Деление обыкновенных дробей
4. Взаимно обратные числа
5. Десятичные дроби
6. Арифметические действия над десятичными дробями
6.1. Сложение десятичных дробей
6.2. Вычитание десятичных дробей
6.3. Умножение десятичных дробей
6.4. Деление десятичных дробей
#1. Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то получится дробь, равная данной.
3/7=3*3/7*3=9/21, то есть 3/7=9/21
a/b=a*m/b*m - так выглядит основное свойство дроби.
Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.
Если ad=bc , то две дроби a/b =c /d считаются равными.
Например, дроби 3/5 и 9/15 будут равными, так как 3*15=5*9, то есть 45=45
Сокращение дроби - это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.
Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.
Например, 45/60=15/ 20 =9/12=3/4 (числитель и знаменатель делится на число 3, на 5 и на 15 ).
Несократимая дробь - это дробь вида 3/4 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби - сделать дробь несократимой.
2. Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, надо:
1) разложить знаменатель каждой дроби на простые множители;
2) умножить числитель и знаменатель первой дроби на недостающие
множители из разложения второго знаменателя;
3) умножить числитель и знаменатель второй дроби на недостающие множители из первого разложения.
Примеры: приведите дроби к общему знаменателю .
Разложим знаменатели на простые множители: 18=3∙3∙2, 15=3∙5
Умножили числитель и знаменатель дроби на недостающий множитель 5 из второго разложения.
числитель и знаменатель дроби на недостающие множители 3 и 2 из первого разложения.
= , 90 – общий знаменатель дробей .
3. Арифметические действия над обыкновенными дробями
3.1. Сложение обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:
a/b+c/b=(a+c)/b ;
б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :
7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12
3.2. Вычитание обыкновенных дробей
а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:
a/b-c/b=(a-c)/b ;
б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .
3.3. Умножение обыкновенных дробей
Умножение дробей подчиняется следующему правилу:
a/b*c/d=a*c/b*d,
то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.
Например:
3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.
3.4. Деление обыкновенных дробей
Деление дробей производят следующим способом:
a/b:c/d=a*d/b*c,
то есть дробь a/b умножается на дробь, обратную данной, то есть умножается на d/c.
Пример: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28
4. Взаимно обратные числа
Если a*b=1, то число b является обратным числом для числа a .
Пример: для числа 9 обратным является 1/9 , так как 9*1/9= 1 , для числа 5 - обратное число 1/5 , так как 5* 1/5 = 1 .
5. Десятичные дроби
Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 n .
Например: 6/10=0,6; 44/1000=0,044 .
Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.
Например: 51/10=5,1; 763/100=7,63
В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .
менателем, который является делителем некой степени числа 10 .
Пример: 5 - делитель числа 100 , поэтому дробь 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 0 = 0 , 2 .
6. Арифметические действия над десятичными дробями
6.1. Сложение десятичных дробей
Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.
6.2. Вычитание десятичных дробей
Выполняется аналогично сложению.
6.3. Умножение десятичных дробей
При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.
Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа - одна цифра после запятой; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .
Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:
Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).
Например: 1,47 \cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .
6.4. Деление десятичных дробей
Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.
Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:
.png)
Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:
.png)
Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.
Например, 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9 = 31 1/9 .
Содержание урокаСложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
В данном разделе рассматриваются действия с обыкновенными дробями. В случае, если необходимо провести математическую операцию со смешанными числами, то достаточно перевести смешанную дробь в необыкновенную, провести необходимые операции и, в случае необходимости, конечный результат снова представить в виде смешанного числа. Данная операция будет описана ниже.
Сокращение дроби
Математическая операция. Сокращение дроби
Чтобы сократить дробь \frac{m}{n} нужно найти наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя: НОД(m,n), после чего поделить числитель и знаменатель дроби на это число. Если НОД(m,n)=1, то дробь сократить нельзя. Пример: \frac{20}{80}=\frac{20:20}{80:20}=\frac{1}{4}
Обычно сразу найти наибольший общий делитель представляется сложной задачей и на практике дробь сокращают в несколько этапов, пошагово выделяя у числителя и знаменателя очевидные общие множители. \frac{140}{315}=\frac{28\cdot5}{63\cdot5}=\frac{4\cdot7\cdot5}{9\cdot7\cdot5}=\frac{4}{9}
Приведение дробей к общему знаменателю
Математическая операция. Приведение дробей к общему знаменателю
Чтобы привести две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} к общему знаменателю нужно:
- найти наименьшее общее кратное знаменателей: M=НОК(b,d);
- умножить числитель и знаменатель первой дроби на M/b (после чего знаменатель дроби становится равным числу M);
- умножить числитель и знаменатель второй дроби на M/d (после чего знаменатель дроби становится равным числу M).
Тем самым мы преобразуем исходные дроби к дробям с одинаковыми знаменателями (которые будут равны числу M).
Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} имеют НОК(6,9) = 18. Тогда: \frac{5}{6}=\frac{5\cdot3}{6\cdot3}=\frac{15}{18};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot2}{9\cdot2}=\frac{8}{18} . Тем самым полученные дроби имеют общий знаменатель.
На практике нахождение наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей является не всегда простой задачей. Поэтому в качестве общего знаменателя выбирается число, равное произведению знаменателей исходных дробей. Например, дроби \frac{5}{6} и \frac{4}{9} приводятся к общему знаменателю N=6\cdot9:
\frac{5}{6}=\frac{5\cdot9}{6\cdot9}=\frac{45}{54};\quad\frac{4}{9}=\frac{4\cdot6}{9\cdot6}=\frac{24}{54}
Сравнение дробей
Математическая операция. Сравнение дробей
Для сравнения двух обыкновенных дробей необходимо:
- сравнить числители получившихся дробей; дробь с большим числителем будет больше.
При сравнении дробей имеются несколько частных случаев:
- Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например, \frac{3}{15}
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например, \frac{4}{11}>\frac{4}{13}
- Та дробь, у которой одновременно больший числитель и меньший знаменатель , больше. Например, \frac{11}{3}>\frac{10}{8}
Внимание! Правило 1 действует для любых дробей, если их общий знаменатель является положительным числом. Правила 2 и 3 действуют для положительных дробей (у которых и числитель и знаменатель больше нуля).
Сложение и вычитание дробей
Математическая операция. Сложение и вычитание дробей
Чтобы сложить две дроби, нужно:
- привести их к общему знаменателю;
- сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
Пример: \frac{7}{9}+\frac{4}{7}=\frac{7\cdot7}{9\cdot7}+\frac{4\cdot9}{7\cdot9}=\frac{49}{63}+\frac{36}{63}=\frac{49+36}{63}=\frac{85}{63}
Чтобы из одной дроби вычесть другую, нужно:
- привести дроби к общему знаменателю;
- из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменений.
Пример: \frac{4}{15}-\frac{3}{5}=\frac{4}{15}-\frac{3\cdot3}{5\cdot3}=\frac{4}{15}-\frac{9}{15}=\frac{4-9}{15}=\frac{-5}{15}=-\frac{5}{3\cdot5}=-\frac{1}{3}
Если исходные дроби изначально имеют общий знаменатель, то пункт 1 (приведение к общему знаменателю) пропускается.
Преобразование смешанного числа в неправильную дробь и обратно
Математическая операция. Преобразование смешанного числа в неправильную дробь и обратно
Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, достаточно просуммировать целую часть смешанной дроби с дробной частью. Результатом такой суммы станет неправильная дробь, числитель которой равен сумме произведения целой части на знаменатель дроби с числителем смешанной дроби, а знаменатель останется прежним. Например, 2\frac{6}{11}=2+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11}{11}+\frac{6}{11}=\frac{2\cdot11+6}{11}=\frac{28}{11}
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанное число необходимо:
- поделить числитель дроби на ее знаменатель;
- остаток от деления записать в числитель, а знаменатель оставить прежним;
- результат от деления записать в качестве целой части.
Например, дробь \frac{23}{4} . При делении 23:4=5,75, то есть целая часть 5, остаток от деления равен 23-5*4=3. Тогда смешанное число запишется: 5\frac{3}{4} . \frac{23}{4}=\frac{5\cdot4+3}{4}=5\frac{3}{4}
Преобразование десятичной дроби в обыкновенную
Математическая операция. Преобразование десятичной дроби в обыкновенную
Для того, чтобы обратить десятичную дробь в обыкновенную, надо:
- в качестве знаменателя взять n-ую степень десяти (здесь n – количество десятичных знаков);
- в качестве числителя взять число, стоящее после десятичной точки (если целая часть исходного числа не равна нулю, то брать в том числе и все стоящие впереди нули);
- отличная от нуля целая часть записывается в числителе в самом начале; нулевая целая часть опускается.
Пример 1: 0.0089=\frac{89}{10000} (десятичных знаков 4, поэтому в знаменателе 10 4 =10000, поскольку целая часть равна 0, то в числителе записано число после десятичной точки без начальных нулей)
Пример 2: 31.0109=\frac{310109}{10000} (в числитель записываем число после десятичной точки со всеми нулями: "0109", а затем перед ним дописываем целую часть исходного числа "31")
Если целая часть десятичной дроби отлична от нуля, то её можно перевести в смешанную дробь. Для этого переводим число в обыкновенную дробь как если бы целая часть равнялась нулю (пункты 1 и 2), а целую часть просто переписываем перед дробью - это будет целая часть смешанного числа. Пример:
3.014=3\frac{14}{100}
Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, достаточно просто произвести деление числителя на знаменатель. Иногда получится бесконечная десятичная дробь. В этом случае необходимо произвести округление до нужного десятичного знака. Примеры:
\frac{401}{5}=80.2;\quad \frac{2}{3}\approx0.6667
Умножение и деление дробей
Математическая операция. Умножение и деление дробей
Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, надо перемножить числители и знаменатели дробей.
\frac{5}{9}\cdot\frac{7}{2}=\frac{5\cdot7}{9\cdot2}=\frac{35}{18}
Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй (обратная дробь - дробь, в которой поменяны местами числитель и знаменатель).
\frac{5}{9}:\frac{7}{2}=\frac{5}{9}\cdot\frac{2}{7}=\frac{5\cdot2}{9\cdot7}=\frac{10}{63}
В случае, если одна из дробей является натуральным числом, то указанные выше правила умножения и деления остаются в силе. Просто нужно учитывать, что целое число это та же дробь, знаменатель которой равен единице. Например: 3:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}:\frac{3}{7}=\frac{3}{1}\cdot\frac{7}{3}=\frac{3\cdot7}{1\cdot3}=\frac{7}{1}=7
Числителем, а то, на которое делят - знаменателем.
Чтобы записать дробь, напишите сначала ее числитель, затем проведите под этим числом горизонтальную черту, а под чертой напишите знаменатель. Горизонтальная , разделяющая числитель и знаменатель, называется дробной чертой. Иногда ее изображают в виде наклонной «/» или «∕». При этом, числитель записывается слева от черты, а знаменатель справа. Так, например, дробь «две третьих» запишется как 2/3. Для наглядности числитель обычно пишут в верхней части строки, а знаменатель - в нижней, то есть вместо 2/3 можно встретить: ⅔.
Чтобы рассчитать произведение дробей, умножьте сначала числитель одной дроби на числитель другой. Запишите результат в числитель новой дроби . После этого перемножьте и знаменатели. Итоговое значение укажите в новой дроби . Например, 1/3 ? 1/5 = 1/15 (1 ? 1 = 1; 3 ? 5 = 15).
Чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте сначала числитель первой на знаменатель второй. То же произведите и со второй дробью (делителем). Или перед выполнением всех действий сначала «переверните» делитель, если вам так удобнее: на месте числителя должен оказаться знаменатель. После этого умножьте знаменатель делимого на новый знаменатель делителя и перемножьте числители. Например, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Источники:
- Основные задачи на дроби
Дробные числа позволяют выражать в разном виде точное значение величины. С дробями можно выполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Чтобы научиться решать дроби , надо помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, общего знаменателя. Некоторые арифметические действия после выполнения требуют сокращения дробной части результата.
Вам понадобится
- - калькулятор
Инструкция
Внимательно посмотрите на числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, иногда удобнее вначале выполнить действия с десятичными, а затем перевести их в неправильный вид. Можете перевести дроби
в такой вид изначально, записав значение после запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, разделив числа выше и ниже на один делитель. Дроби, в которых выделяется целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к результату числитель. Данное значения станет новым числителем дроби
. Чтобы выделить целую часть из первоначально неправильной дроби
, надо поделить числитель на знаменатель. Целый результат записать от дроби
. А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби
при этом не меняется. Для дробей с целой частью возможно выполнение действий отдельно сначала для целой, а затем для дробной частей. Например, сумма 1 2/3 и 2 ¾ может быть вычислена :
- Переведение дробей в неправильный вид:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.
Перепишите их через разделитель «:» и продолжите обычное деление.
Для получения конечного результата полученную дробь сократите, разделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее возможное в данном случае. При этом выше и ниже черты должны быть целые числа.
Обратите внимание
Не выполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, чтобы при умножении на него числителя и знаменателя каждой дроби в результате знаменатели обеих дробей были равны.
Полезный совет
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, или знаменатель, дроби. Например, полтора килограмма риса в виде дроби запишется следующим образом: 1 ½ кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для удобства вычислений такую дробь всегда можно записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для упрощения можно сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере возможно деление на 2. В результате получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь выполнять арифметические действия, представлены в одном виде.
В данной статье репетитором по математике и физике рассказано о том, как производить элементарные операции с обыкновенными дробями: сложение и вычитание, умножение и деление. Рассказано о том, как представить смешанное число в виде неправильной дроби и наоборот, а также о том, как сокращать дроби.
Сложение и вычитание обыкновенных дробей
Напомним, что знаменателем дроби называется число, которое находится снизу , а числителем — число, которое находится сверху от дробной черты. Например, у дроби число является числителем, а число — знаменателем.
Общим знаменателем является наименьшее возможное число, которое делится и на знаменатель первой дроби, и на знаменатель второй дроби.
Пример 1 . Сложить две дроби: .
Воспользуемся описанным выше алгоритмом:
1) Наименьшее число, которое делится и на знаменатель первой дроби, и на знаменатель второй дроби, равно . Это число и будет являться общим знаменателем. Теперь нужно привести обе дроби к общему знаменателю.
2) Складываем полученные дроби: 
.
Умножение обыкновенных дробей
Иными словами, для всех действительных чисел , , , , справедливо равенство:
Пример 2 . Перемножить дроби: .
Для решения данной задачи воспользуемся представленной выше формулой: 
.
Деление обыкновенных дробей
Иными словами для всех действительных чисел , , , , , справедливо равенство:
Пример 3 . Разделите дроби: .
Для решения этой задачи воспользуемся приведенной выше формулой: 
.
Представление смешанного числа в виде неправильной дроби
Разберемся теперь, как быть, если требуется выполнить какую-либо операцию с дробями, представленными в виде смешанных чисел. В этом случае сперва нужно представить смешанные числа в виде неправильных дробей, а затем выполнить необходимую операцию.
Напомним, что неправильной называется дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю.
Напомним также, что у смешанного числа есть дробная часть и целая часть . Например, у смешанного числа дробная часть равна , а целая часть равна .
Пример 4 . Представить смешанное число в виде неправильной дроби.
Воспользуемся представленным выше алгоритмом: 
.
Пример 5 . Представьте неправильную дробь в виде смешанного числа.