Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции (тренда, либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой) , характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.
Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции . Наиболее часто используются следующие функции:
· линейная -
· полиномиальная -
· экспоненциальная -
· логистическая - 
· Гомперца -
Это весьма ответственный этап исследования. При выборе соответствующей функции используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). При выборе полиномиальной функции может быть применен метод последовательных разностей (состоящий в вычислении разностей первого порядка , второго порядка 
и т.д.), и порядок разностей, при котором они будут примерно одинаковыми, принимается за степень полинома.
Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Но этот принцип нельзя доводить до абсурда: так, для любого ряда из точек можно подобрать полином -ой степени, проходящей через все точки, и соответственно с минимальной – нулевой – суммой квадратов отклонений, но в этом случае, очевидно, не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.
Параметры основной тенденции можно определить, используя метод наименьших квадратов. При этом, значения временного ряда рассматриваются как зависимая переменная, а время - как объясняющая:
где – возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т.е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.
Согласно методу наименьших квадратов параметры прямой 
находятся из системы нормальных уравнений (2.5), в которой в качестве берем :
(7.10)
Учитывая, что значения переменной образуют натуральный ряд чисел от 1 до , суммы можно выразить через число членов ряда по известным в математике формулам:
(7.11)
В рассмотренном примере 2 на странице 79 система нормальных уравнений имеет вид:
,
откуда и уравнение тренда , т.е. спрос ежегодно увеличивается в среднем на 25,7 ед.
Проверим значимость полученного уравнения тренда по F -критерию на 5%-ном уровне значимости вычислим с помощью формулы (3.40) суммы квадратов:
а) обусловленную регрессией –
б) общую –
в) остаточную
Найдем значение статистики:
.
Так как , то уравнение тренда значимо.
Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.
Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда.
Одним из наиболее распространенных способов моделирования временного ряда является построение тренда или аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.
Для аналитического выравнивания могут применяться следующие функции:
· линейная
· гиперболическая ;
· экспоненциальная
· степенная
· полиномы второго и более высоких порядков 
Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда yt. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.
Известно несколько способов определения типа трендов. К наиболее распространенным относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики, коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тренда можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейный тренд, то его соседние уровни тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейный тренд, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражен нелинейный тренд в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.
|
Верификация
| Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейный тренд, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации R 2 , значимость которого оценивается по критерию Фишера, и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных. При наличии неявного нелинейного тренда следует дополнять описанные выше методы выбора наилучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показателя, чтобы избежать ошибок спецификации при выборе вида тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом временном ряде поворотных точек и изменения темпов прироста, начиная с определенного момента (периода) времени под влиянием ряда факторов. В случае, если уравнение тренда выбрано неверно при больших значениях выборки (ошибка спецификации), результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными. |
Поскольку наибольшее значение коэффициента детерминации 0,98 имеет уравнение, заданное кубическим полиномом, то в качестве модели можно использовать это уравнение (рисунок 16). Однако значение коэффициента детерминации линейного тренда равно 0,96, что также дает право использовать его для прогноза. Как правило, при прогнозировании предпочтение отдается линейному тренду, если по качеству он незначительно уступает нелинейному.
|
|
Рисунок 16 – Подбор линии тренда
Прогнозирование
Используя линию тренда (кубический полином), осуществляется прогноз выпуска продукции, который составит в 2011 г. 44 208 ед. Прогноз выпуска продукции по линейному тренду составит 38 214,5 ед. Заметим, что полином лучше описывает имеющуюся выборку, но прогнозное значение резко увеличивается по сравнению с наблюдаемыми значениями. Прогноз по линейному тренду более достоверен.
Вопросы для самоконтроля
1. Каково определение модели временного ряда?
2. Какие известны основные компоненты временного ряда?
3. Каковы основные цели исследования временных рядов?
4. Как использовать автокорреляционную функцию при анализе структуры временного ряда?
5. Как рассчитывается коэффициент автокорреляции пятого порядка?
6. Как строится коррелограмма?
7. Каков общий вид мультипликативной и аддитивной моделей временного ряда?
8. С какой целью проводится анализ структуры сезонных колебаний временного ряда?
9. Какие тесты используются для проверки гипотезы о структурной стабильности временного ряда?
10. В каком случае нарушается структурная стабильность временного ряда?
11. Что понимается под аналитическим выравниванием временного ряда?
12. Каковы известны наиболее распространенные модели, используемые для аналитического выравнивания временного ряда?
13. Что понимается под линеаризующими преобразованиями? Как они используются в МНК?
14. Как оценивается качество построенной модели?
15. Как осуществляется точечный прогноз по модели временного ряда?
Динамика выпуска продукции некоторого предприятия характеризуется данными, представленными в таблице 25 (в каждом варианте
к объему выпускаемой продукции надо прибавить число 120 × k
, где k
– порядковый номер студента в журнале группы). Выполните следующее:
· проанализируйте структуру временного ряда;
· проверьте гипотезу о структурной стабильности ряда;
· проведите аналитическое выравнивание временного ряда;
· сделайте прогноз на 2011 г.;
· оформите отчет.
Министерство образования Российской Федерации
Всероссийский заочный финансово – экономический институт
Ярославский филиал
Кафедра статистики
по дисциплине:
«Статистика»
задание № 19
Студент: Курашова Анастасия Юрьевна
Специальность «Финансы и кредит»
3 курс, периферия
Руководитель: Сергеев В.П.
Ярославль, 2002 г.
1. Введение……………………………………………………………3 стр.
2. Теоретическая часть…………………………………………… …4 стр.
2.1 Основные понятия о рядах динамики…………………………...4 стр.
2.2 Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов……………………………………………………………….6 стр.
2.2.1 Методы «механического сглаживания»………………………6 стр.
2.2.2 Методы «аналитического» выравнивания…………………. 8 стр.
3. Расчетная часть……………………………………………… ……11 стр.
4. Аналитическая часть……………………………………………. .16 стр.
5. Заключение ………………………………………………………. 25 стр.
6. Список литературы……………………………………………… 26 стр.
7. Приложения………………………………………………………. 27 стр.
Введение
Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.
Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.
Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях деятельности.
Сложной, трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами.
На всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы статистики - это особые приемы и способы изучения массовых общественных явлений.
I. Теоретическая часть.
1.1 Основные понятия о рядах динамики.
Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами.
В каждом ряду динамики имеется два основных элемента:
1) показатель времени t ;
2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;
В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).
Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.
Ряды динамики различаются по следующим признакам:
1) По времени. В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 1991 году (таб. 1):
Таблица 1
Списочная численность работников магазина в 1991 году
Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, -- величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Так, основная часть персонала магазина, составляющая списочную численность на 1.01.1991 , продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет.
Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.
Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.
Примером интервального ряда могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1987 – 1991 гг. (таб. 2):
Таблица 2
Объем розничного товарооборота магазина в 1987 - 1991 гг.
| Объем розничного товарооборота, тыс. р. | 885.7 | 932.6 | 980.1 | 1028.7 | 1088.4 |
Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней.
Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а суммируя товарооборот за четыре квартала, получают его величину за год, и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к которому этот уровень относится.
Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов.
Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателей, отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды.
Структура ряда динамики:
Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:
1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению или снижению его уровней) ;
2) циклические (периодические колебания, в том числе сезонные);
случайные колебания.
1. 2. Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.
Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:
1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.
2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.
1.2. 1 Методы «механического» сглаживания.
Сюда относятся:
а. Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.
б. Метод укрупнения интервалов, при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.
в. Метод скользящей средней. Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:
Устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней – пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.
Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:
y1 = Sy1/m, где
y1 – I-ый уровень ряда;
m – членность скользящей средней.
Первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет y будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики y n .
По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.
Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую.
В последнее время стала рассчитываться адаптивная скользящая средняя. Ее отличие состоит в том, что среднее значение признака, рассчитываемое также как описано выше, относится не к середине ряда, а к последнему промежутку времени в интервале укрупнения. Причем предполагается, что адаптивная средняя зависит от предыдущего уровня в меньшей степени, чем от текущего. То есть., чем больше промежутков времени между уровнем ряда и средним значением, тем меньшее влияние оказывает значение этого уровня ряда на величину средней.
г. Метод экспоненциальной средней. Экспоненциальная средняя – это адаптивная скользящая средняя, рассчитанная с применением весов, зависящих от степени «удаленности» отдельных уровней ряда от среднего значения. Величина веса убывает по мере удаления уровня по хронологической прямой от среднего значения в соответствии с экспоненциальной функцией, поэтому такая средняя называется экспоненциальной. На практике применяется многократное экспоненциальное сглаживания ряда динамики, которое используется для прогнозирования развития явления.
Вывод: способы, включенные в первую группу, ввиду применяемых методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально - экономических явлений.
Аналитическое выравнивание временного ряда представляет из себя построение аналитической функции, модели тренда. Для этого применяются различного рода функции: линейные, степные, параболические и т.д.
Параметры тренда определяются как и в случае линейной регрессии методом наименьших квадратов, где в качестве независимой переменной выступает время, а в качестве зависимой переменной - уровни временного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение коэффициента детерминации, критерии Фишера и Стьюдента.
Допустим, что некоторая теоретическая модель предполагает линейную зависимость одной из характеристик системы от других:
y = У i k i ·x i
(i - число независимых переменных). Задача заключается в следующем: при фиксируемых параметрах x и измеренных значениях y рассчитать вектор параметров k , удовлетворяющий некоторому критерию оптимальности.
В методе наименьших квадратов этим критерием является минимум суммы квадратов отклонений расчитанных значений y от наблюдаемых (экспериментальных):
min У i (y s,i - y i )І.
Чтобы найти минимум функции, это выражение надо продифференцировать по параметрам и приравнять нулю (условие минимума). В результате поиск минимума суммы квадратов сводиться в простым операциям с матрицами.
Если теоретическая модель представляет собой линейную зависимость от одного параметра (y = a + b ·x ), то решение выражается в виде простых формул:
Z = n Уx i І - (Уx i )І;
a = (Уy i Уx i І - Уy i x i Уx i ) / Z ; S a І = S y І Уx i І / Z ;
b = (n Уy i x i - Уy i Уx i ) / Z ; S b І = S y І n / Z ;
S y І = У(y s,i - y i )І / (n - 2)
(y s,i - рассчитанное значение, y i - эксперементально измеренное значение)
При расчете погрешностей предполагается, что точность значений x значительно превосходит точность измеряемых значений y , погрешность измерения которых подчиняется нормальному распределению.
Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.
Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками. Как мы видим из привиденного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. Отсюда естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.) В случае, если погрешности никак не связаны между собой автокорреляционная функция должна быть вырожденной - равняться 1 при равенстве аргументов и 0 при их неравенстве. Понятно, что для реальных временных рядов так бывает далеко не всегда. Если естественный ход изменений наблюдаемого процесса является достаточно быстрым по сравнению с интервалом между последовательными наблюдениями, то можно предсказать "затухания" автокорреляции" и получения практически независимых остатков, в противном случае остатки будут автокоррелированы.
Под идентификацией моделей обычно понимается выявление их структуры и оценивание параметров. Так как структура - это тоже параметр, хотя и нечисловой, то речь идет об одной из типовых задач эконометрики - оценивании параметров.
Наиболее просто решается задача оценивания для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей, на случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.
Тем не менее, на более общую ситуацию такого простого переноса делать не рекомендуется. Рассмотрим, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными. Формулы будут отличаться. В связи с чем данный метод называется "обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)"
Проанализируем эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции). Пусть I(t)- рост цен в месяц t. Тогда, по мнению некоторых экономистов, естественно предположить, что:
I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
Где I(t-1) - рост цен в предыдущий месяц (а c- некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен прекратится), a- константа (она соответствует линейному изменению величины I(t)со временем), bS(t-4) - слагаемое, соответствующее влиянию эмиссии денег (т.е. увеличения объема денег в экономике страны, осуществленному Центральным Банком) в размере S(t-4) и пропорциональное эмиссии с коэффициентом b, причем это влияние проявляется не сразу, а через 4 месяца; наконец, - это неизбежная погрешность.
Модель, даже, несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как I(t). Их называют эндогенными (внутренними). Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных, выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.
Во-вторых, в соотношении появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым прошлым моментам.
В-третьих, составление эконометрической модели такого типа - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом - это результат достаточно сложной предварительной статистической обработки.
От решения этого вопроса зависит конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов.
С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:
Далее рассмотри модель такого типа с большим числом эндогенных и экзогенных переменных, с лагами и сложной внутренней структурой. Иначе говоря, ниоткуда не следует, что существует хотя бы одно решение у такой системы. В связи с чем возникает не одна, а две проблемы. Существует ли хоть одно решение? Если да, то как найти наилучшее решение из возможных? (Это - проблема статистической оценки параметров.)
Обе задача достаточно сложны. Для решения обоих задач разработано множество методов, обычно достаточно сложных, лишь часть из которых имеет научное обоснование. В частности, достаточно часто пользуются статистическими оценками, не являющимися состоятельными (строго говоря, их даже нельзя назвать оценками).
Коротко опишем некоторые распространенные приемы при работе с системами линейных эконометрических уравнений.
Система линейных одновременных эконометрических уравнений. Чисто формально можно все переменные выразить через переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае вышеприведенного уравнения достаточно положить
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
Тогда уравнение пример вид
I(t)=cH(t)+a+bG(t)+
Отметим тут же возможность использования регрессионных моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Данные переменные при одних значениях времени (скажем, начальных) принимают заметные значения, а при других - сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.
Как уже отмечалось выше, создана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Данные методы предназначены для решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти численные решения систем уравнений.
Одной из проблем является наличие априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доходы домохозяйства могут быть потрачены либо на потребление, либо на сбережение. Отсюда, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Отсюда возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов, не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Данный подход называется косвенным методом наименьших квадратов.
Двух шаговый метод наименьших квадратов заключается в том, что в приведенном методе производится оценка параметров отдельного уравнения системы, а не рассмотрение системы в целом. И так же трех шаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Изначально к каждому уравнению применяется двух шаговый метод с единой целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а в дальнейшем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей. Затем для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.
Менеджеру и экономисту не рекомендуется быть специалистом в области составления и решения систем эконометрических уравнений, даже с применением специальных программных обеспечений, однако, он должен быть проинформирован о возможности данного направления эконометрики, для того чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно сформулировать задание для специалистов-эконометриков.
От оценивания тренда (основной тенденции) перейдем ко второй основной задаче эконометрики временных рядов - оцениванию периода (цикла).
Проблема гетероскедастичности. Для начала выделим стационарные модели. В них совместные функции распределения F(t 1 , t 2 ,…,t k) для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.
Гетероскедастичность - свойство исходных, когда дисперсия ошибки зависит от номера наблюдения. На графике гетероскедастичность проявляется в том, что с увеличением или уменьшением порядкового номера измерения увеличивается рассеивание измерений около линии тренда. Это может привести к существенным погрешностям оценок коэффициентов уравнения регрессии. Гетероскедастичность возникает тогда, когда объекты как правило неоднородны. Существует несколько методов коррекции, решающих проблему гетероскедастичности. Наиболее эффективный из них - метод взвешенных наименьших квадратов.
Сущность метода чрезвычайно проста. Пусть исходная модель имеет вид
Тогда, делением каждого элемента системы на значение уt мы приходим к другой системе
где у t2 = у 2щ, взвешенная дисперсия;
Щt = n, n - число измерений.
Таким образом, с помощью этого преобразования мы устраняем гетероскедастичность.
Кроме того, логарифмирование исходных данных также в некоторых случаях снижает ошибки определения параметров модели, вызванные гетероскедастичностью.
| Наименование параметра | Значение |
| Тема статьи: | Выравнивание временного ряда |
| Рубрика (тематическая категория) | Математика |
После выявления структуры временного ряда, первым этапом эконометрического моделирования по данным временного ряда является моделирование тренда – систематической составляющей, зависящей только от времени. Этот этап получил название выравнивания временного ряда .
Для выравнивания временного ряда используются методы механического и аналитического выравнивания.
Методы механического выравнивания (метод скользящих средних , метод экспоненциального сглаживания и др.) подробно рассматриваются в курсе статистики.
В частности, метод скользящей средней основан на переходе от заданных уровней временного ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее (такое преобразование принято называть фильтрованием ). При этом сам выбранный интервал времени “скользит” вдоль ряда. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный, из-за усреднения отклонений ряда. Для выравнивания временного ряда методом скользящей средней в Exсel используется опция ʼʼЛинейная фильтрация ʼʼ инструмента ʼʼПодбор линии тренда ʼʼ.
Метод скользящей средней (как и другие механические методы выравнивания) пригоден лишь для осреднения значений ряда и не должна быть использован для количественного прогнозирования. В то же время получение достаточно гладкой траектории дает возможность визуально оценить наличие тенденции в условиях сильной зашумленности ряда случайной компонентой, а также получить ответы на некоторые качественные вопросы относительно тренда.
В эконометрике основное внимание уделяется методу аналитического выравнивания, так как он дает количественную модель изменений временного ряда. При этом под аналитическим выравниванием временного ряда принято понимать построение аналитической функции для моделирования тренда.
Для построения трендов чаще всего применяются следующие регрессионные уравнения:
· (линейный тренд);
· (полиномиальный тренд);
· (гиперболический тренд);
· (экспоненциальный тренд).
Параметры модели определяются с помощью метода наименьших квадратов. При этом в качестве независимой переменной выступает переменная t , принимающая значения 1, 2, …, n , а в качестве зависимой переменной – уровни y 1 , y 2 , …, y n временного ряда. Стоит сказать, что для нелинейных трендов
предварительно проводится процедура линеаризации.
На стадии спецификации модели, ᴛ.ᴇ. при выборе аппроксимирующей функции , обычно отталкиваются либо от качественного анализа процесса, исходя из соображений экономической теории, либо от визуального анализа графика зависимости уровней ряда от времени. В большинстве случаев выбор наилучшего уравнения тенденции осуществляется путем перебора многих форм с последующим сравнением коэффициента детерминации для каждой из них. Предпочтение отдается той форме, для которой значение больше. Реализация такого подхода относительно проста при компьютерной обработке данных. В частности, для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда в Exсel используется инструмент ʼʼПодбор линии трендаʼʼ из Мастера диаграмм .
Трендовую кривую, аппроксимирующую временной ряд, называют еще кривой роста .
Наиболее часто в практической работе используются кривые роста͵ которые позволяют описывать процессы трех базовых типов: без предела роста; с пределом роста без точки перегиба; с пределом роста и точкой перегиба.
Для описания процессов без предела роста
чаще всего служат функции: прямая (полином первой степени) , парабола (полином второй степени) 
, экспонента и другие. Процессы развития такого типа характерны в основном для абсолютных объёмных показателей.
Для описания процессов с пределом роста
применяется, как правило, модифицированная экспонента 
и гипербола . При этом в случае экспоненты прямая является горизонтальной асимптотой. Коэффициент подбирается исходя из свойств прогнозируемого процесса или на основании экспертных оценок. Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на одну денежную единицу произведенной продукции и т.п.).
Для описания процессов третьего типа (с пределом роста и точкой перегиба
) используются логистическая кривая (кривая Перла-Рида) 
и кривая Гомперца . Такой тип развития характерен для растущих рынков, в частности, для описания развития спроса на некоторые новые товары. На основании кривой Гомперца также описывается динамика показателей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателей смертности и т.д.
Параметры большинства кривых роста͵ как правило, оцениваются по методу наименьших квадратов, ᴛ.ᴇ. подбираются таким образом, чтобы график кривой роста располагался на минимальном удалении от точек исходных данных.
Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу таких моделей, в первую очередь, относится линейная модель роста .
Выравнивание временного ряда - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Выравнивание временного ряда" 2017, 2018.