Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика . К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале.
В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач.
Навигация по странице.
Возрастание и убывание функции на интервале.
Определение возрастающей функции.
Функция y=f(x)
возрастает на интервале X
, если для любых и 
выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение убывающей функции.
Функция y=f(x)
убывает на интервале X
, если для любых и выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b) , то есть при x=a и x=b , то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X .
К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .
Точки экстремума, экстремумы функции.
Точку называют точкой максимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .
Точку называют точкой минимума функции y=f(x) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .
Под окрестностью точки понимают интервал 
, где - достаточно малое положительное число.
Точки минимума и максимума называют точками экстремума , а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции .
Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.
На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b , которая не является точкой максимума.
Достаточные условия возрастания и убывания функции.
На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.
Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:
- если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X , то функция возрастает на X ;
- если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X , то функция убывает на X .
Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:
Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.
Пример.
Найти промежутки возрастания и убывания функции .
Решение.
На первом шаге нужно найти область определения функции . В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .
Переходим к нахождению производной функции:
Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2
, а знаменатель обращается в ноль при x=0
. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
Таким образом, 
и 
.
В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.
Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.
Ответ:
Функция возрастает при 
, убывает на интервале (0;2]
.
Достаточные условия экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.
Первое достаточное условие экстремума.
Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.
Другими словами:
Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.
- Находим область определения функции.
- Находим производную функции на области определения.
- Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
- Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
- Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.
Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2 .
Находим производную:
Нулями числителя являются точки x=-1
и x=5
, знаменатель обращается в ноль при x=2
. Отмечаем эти точки на числовой оси
Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6 .
Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.
Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x=-1
функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1
– точка максимума, ей соответствуем максимум функции 
.
В точке x=5
функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1
– точка минимума, ей соответствуем минимум функции 
.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ: первый достаточный признак экстремума не требует дифференцируемости функции в самой точке .
Пример.
Найдите точки экстремума и экстремумы функции 
.
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел. Саму функцию можно записать в виде:
Найдем производную функции:
В точке x=0
производная не существует, так как значения односторонних пределов при стремлении аргумента к нулю не совпадают:
В это же время, исходная функция является непрерывной в точке x=0
(смотрите раздел исследование функции на непрерывность):
Найдем значения аргумента, при котором производная обращается в ноль:
Отметим все полученные точки на числовой прямой и определим знак производной на каждом из интервалов. Для этого вычислим значения производной в произвольных точках каждого интервала, к примеру, при x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6
.
То есть,
Таким образом, по первому признаку экстремума, точками минимума являются 
, точками максимума являются 
.
Вычисляем соответствующие минимумы функции
Вычисляем соответствующие максимумы функции
Графическая иллюстрация.
Ответ:
.
Второй признак экстремума функции.
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Как видите, этот признак экстремума функции требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример.
Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем
с области определения:
Продифференцируем
исходную функцию:
x=1
,
то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции
и вычисляем ее значение при x
= 1
:
Следовательно,
по второму достаточному условию
экстремума, x=1
-
точка максимума. Тогда 
-
максимум функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Третье достаточное условие экстремума функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производные до n -ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1 -ого порядка в самой точке . Пусть и .
Пример.
Найти
точки экстремума функции 
.
Решение.
Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел.
Продифференцируем
функцию:
Производная
обращается в ноль при 
,
следовательно, это точки возможного
экстремума. Воспользуемся третьим
достаточным условием экстремума.
Находим
вторую производную и вычисляем ее
значение в точках возможного экстремума
(промежуточные вычисления опустим):
Следовательно, - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n=1 и ).
Для
выяснения характера точек 
находим
третью производную и вычисляем ее
значение в этих точках:
Следовательно, - точка перегиба функции (n=2 и ).
Осталось
разобраться с точкой .
Находим четвертую производную и вычисляем
ее значение в этой точке:
Следовательно, - точка минимума функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ:
Точка максимума, - точка минимума функции.
10. Экстремумы функции Определение экстремума
Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей ) в некотором интервале, если при x 1 < x 2 выполняется неравенство (f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) > f(x 2)).
Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f " (x) 0
(f " (x) 0).
Точка x о называется точкой локального максимума (минимума ) функции f(x), если существует окрестность точки x о , для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x о) (f(x) ≥ f(x о)).
Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в этих точках - ее экстремумами.
Точки экстремума
Необходимые условия экстремума . Если точка x о является точкой экстремума функции f(x), то либо f " (x о) = 0, либо f (x о) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.
Первое достаточное условие. Пусть x о - критическая точка. Если f " (x) при переходе через точку x о меняет знак плюс на минус, то в точке x о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x о экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f " (x) в окрестности точки x о и вторую производную в самой точке x о . Если f " (x о) = 0, >0 (<0), то точка x о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .
Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.
Решение. Так как f " (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x -2)(x - 3), то критические точки функции x 1 = 2 и x 2 = 3. Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку x 1 = 2 производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку x 2 = 3 производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке x 2 = 3 у функции минимум. Вычислив значения функции в точках x 1 = 2 и x 2 = 3, найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Функция y = f (x) будет возрастать на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X и x 2 ∈ X , x 2 > x 1 неравенство f (x 2) > f (x 1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Определение 2
Функция y = f (x) считается убывающей на интервале x , когда при любых x 1 ∈ X , x 2 ∈ X , x 2 > x 1 равенство f (x 2) > f (x 1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a ; b) , где х = а, х = b , точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x .
Основные свойства элементарных функций типа y = sin x – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале - π 2 ; π 2 , тогда возрастание на отрезке имеет вид - π 2 ; π 2 .
Определение 3Точка х 0 называется точкой максимума для функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≥ f (x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается y m a x .
Точка х 0 называется точкой минимума для функции y = f (x) , когда для всех значений x неравенство f (x 0) ≤ f (x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида y m i n .
Окрестностями точки х 0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [ a ; b ] . Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х = b .
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Определение 4Пусть задана функция y = f (x) , которая дифференцируема в ε окрестности точки x 0 , причем имеет непрерывность в заданной точке x 0 . Отсюда получаем, что
- когда f " (x) > 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) < 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
- когда f " (x) < 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) > 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на - , значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x 0 , тогда имеет производную с меняющимся знаком с - на + , значит, точка называется минимумом.
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Пример 1
Найти точки максимума и минимума заданной функции y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х = 2 . Для начала найдем производную функции и получим:
y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 · x + 1 2 " · (x - 2) - (x + 1) 2 · (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 · 2 · (x + 1) · (x + 1) " · (x - 2) - (x + 1) 2 · 1 (x - 2) 2 = 2 · 2 · (x + 1) · (x - 2) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2
Отсюда видим, что нули функции – это х = - 1 , х = 5 , х = 2 , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х = - 2 , х = 0 , х = 3 , х = 6 .
Получаем, что
y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0 , значит, интервал - ∞ ; - 1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2 < 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х = - 1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на - . По первому признаку имеем, что х = - 1 является точкой максимума, значит получаем
y m a x = y (- 1) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 · (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0
Точка х = 5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
y m i n = y (5) = 2 · (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 · (5 + 1) 2 5 - 2 = 24
Графическое изображение
Ответ: y m a x = y (- 1) = 0 , y m i n = y (5) = 24 .
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x 0 , этим и упрощает вычисление.
Пример 2
Найти точки максимума и минимума функции y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8 .
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0
После чего необходимо найти производную:
y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x < 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x > 0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x < 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0
Точка х = 0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 · (0 - 0) 2 - 4 · (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y " x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 · (0 + 0) 2 - 4 · (0 + 0) + 22 3 = + 22 3
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х = 0 , тогда вычисляем
lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 · (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 · (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 · 0 2 + 22 3 · 0 - 8 = - 8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x < 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0
1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 · 1 2 · 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 · 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 · 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x = - 6 , x = - 4 , x = - 1 , x = 1 , x = 4 , x = 6 . Получим, что
y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3 < 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 > 0 y " (- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 · (- 1) 2 - 4 · (- 1) - 22 3 = 23 6 < 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 > 0 y " (4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 · 4 2 - 4 · 4 + 22 3 = - 2 3 < 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , тогда отсюда точки максимума имеют значени x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3
Перейдем к вычислению минимумов:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Графическое изображение
Ответ:
y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3
Если задана функция f " (x 0) = 0 , тогда при ее f "" (x 0) > 0 получаем, что x 0 является точкой минимума, если f "" (x 0) < 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .
Пример 3
Найти максимумы и минимумы функции y = 8 x x + 1 .
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D (y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y " = 8 x x + 1 " = 8 · x " · (x + 1) - x · (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 · 1 2 x · (x + 1) - x · 1 (x + 1) 2 = 4 · x + 1 - 2 x (x + 1) 2 · x = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x
При х = 1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х = 1 . Получаем:
y "" = 4 · - x + 1 (x + 1) 2 · x " = = 4 · (- x + 1) " · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 · x " (x + 1) 4 · x = = 4 · (- 1) · (x + 1) 2 · x - (- x + 1) · x + 1 2 " · x + (x + 1) 2 · x " (x + 1) 4 · x = = 4 · - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 · x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) · x + 1 · 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 · x = = 2 · 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 · x 3 ⇒ y "" (1) = 2 · 3 · 1 2 - 6 · 1 - 1 (1 + 1) 3 · (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1 < 0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х = 1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4 .
Графическое изображение
Ответ: y m a x = y (1) = 4 ..
Определение 5Функция y = f (x) имеет ее производную до n -го порядка в ε окрестности заданной точки x 0 и производную до n + 1 -го порядка в точке x 0 . Тогда f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x 0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x 0 точка экстремума, причем f (n + 1) (x 0) > 0 , тогда x 0 является точкой минимума, f (n + 1) (x 0) < 0 , тогда x 0 является точкой максимума.
Пример 4
Найти точки максимума и минимума функции y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4 .
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)
Данная производная обратится в ноль при x 1 = - 1 , x 2 = 5 7 , x 3 = 3 . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401 < 0 y "" (3) = 0
Значит, что x 2 = 5 7 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n = 1 и f (n + 1) 5 7 < 0 .
Необходимо определить характер точек x 1 = - 1 , x 3 = 3 . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0
Значит, x 1 = - 1 является точкой перегиба функции, так как при n = 2 и f (n + 1) (- 1) ≠ 0 . Необходимо исследовать точку x 3 = 3 . Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) (3) = 96 > 0
Из выше решенного делаем вывод, что x 3 = 3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x 2 = 5 7 является точкой максимума, x 3 = 3 - точкой минимума заданной функции.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Экстремумы функции
Определение 2
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\le f(x_0)$.
Определение 3
Точка $x_0$ называется точкой максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность данной точки, что для всех $x$ из этой окрестность выполняется неравенство $f(x)\ge f(x_0)$.
Понятие экстремума функции тесно связано с понятием критической точки функции. Введем её определение.
Определение 4
$x_0$ называется критической точкой функции $f(x)$, если:
1) $x_0$ - внутренняя точка области определения;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ или не существует.
Для понятия экстремума можно сформулировать теоремы о достаточных и необходимых условиях его существования.
Теорема 2
Достаточное условие экстремума
Пусть точка $x_0$ является критической для функции $y=f(x)$ и лежит в интервале $(a,b)$. Пусть на каждом интервале $\left(a,x_0\right)\ и\ (x_0,b)$ производная $f"(x)$ существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:
1) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)>0$, а на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right)
2) Если на интервале $(a,x_0)$ производная $f"\left(x\right)0$, то точка $x_0$ - точка минимума для данной функции.
3) Если и на интервале $(a,x_0)$, и на интервале $(x_0,b)$ производная $f"\left(x\right) >0$ или производная $f"\left(x\right)
Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 1.
Рисунок 1. Достаточное условие существования экстремумов
Примеры экстремумов (Рис. 2).
Рисунок 2. Примеры точек экстремумов
Правило исследования функции на экстремум
2) Найти производную $f"(x)$;
7) Сделать выводы о наличии максимумов и минимумов на каждом промежутке, используя теорему 2.
Возрастание и убывание функции
Введем, для начала, определения возрастающей и убывающей функций.
Определение 5
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется возрастающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1
Определение 6
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется убывающей, если для любых точек $x_1,x_2\in X$ при $x_1f(x_2)$.
Исследование функции на возрастание и убывание
Исследовать функции на возрастание и убывание можно с помощью производной.
Для того чтобы исследовать функцию на промежутки возрастания и убывания, необходимо сделать следующее:
1) Найти область определения функции $f(x)$;
2) Найти производную $f"(x)$;
3) Найти точки, в которых выполняется равенство $f"\left(x\right)=0$;
4) Найти точки, в которых $f"(x)$ не существует;
5) Отметить на координатной прямой все найденные точки и область определения данной функции;
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом получившемся промежутке;
7) Сделать вывод: на промежутках, где $f"\left(x\right)0$ функция возрастает.
Примеры задач на исследования функций на возрастание, убывание и наличие точек экстремумов
Пример 1
Исследовать функцию на возрастание и убывание, и наличие точек максимумов и минимумов: $f(x)={2x}^3-15x^2+36x+1$
Так как первые 6 пунктов совпадают, проведем для начала их.
1) Область определения - все действительные числа;
2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\left(x\right)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ существует во всех точках области определения;
5) Координатная прямая:
Рисунок 3.
6) Определить знак производной $f"(x)$ на каждом промежутке:
\ \:
х = arccos(0,16667) — 2π*2 = -11,163 (не входит в интервал)
х = -arccos(0,16667) — 2π*1 = -7,687
х = arccos(0,16667) — 2π*1 = -4,88
х = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
х = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
х = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
х = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
х = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не входит в интервал)
Находим значения функции при критических значениях аргумента:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) — 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) — 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) — 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) — 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) — 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) — 0,5 = -0,885
Видно, что на интервале [-9; 9] наибольшее значение функция имеет при x = -4,88:
x = -4,88, у = 5,398,
а наименьшее - при х = 4,88:
x = 4,88, у = -5,398.
На интервале [-6; -3] мы имеем только одну критическую точку: х = -4,88. Значение функции при х = -4,88 равно у = 5,398.
Находим значение функции на концах интервала:
y(-6) = 3cos(-6) — 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) — 0,5 = 1,077
На интервале [-6; -3] имеем наибольшее значение функции
у = 5,398 при x = -4,88
наименьшее значение —
у = 1,077 при x = -3
Как найти точки перегиба графика функции и определить стороны выпуклости и вогнутости?
Чтобы найти все точки перегиба линии y = f(x), надо найти вторую производную, приравнять её к нулю (решить уравнение) и испытать все те значения х, для которых вторая производная равна нулю, бесконечна или не существует. Если при переходе через одно из этих значений вторая производная меняет знак, то график функции имеет в этой точке перегиб. Если же не меняет, то перегиба нет.
Корни уравнения f ? (x) = 0, а также возможные точки разрыва функции и второй производной разбивают область определения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом их интервалов определяется знаком второй производной. Если вторая производная в точке на исследуемом интервале положительна, то линия y = f(x) обращена здесь вогнутостью кверху, а если отрицательна - то книзу.
Как найти экстремумы функции двух переменных?
Чтобы найти экстремумы функции f(x,y), дифференцируемой в области её задания, нужно:
1) найти критические точки, а для этого — решить систему уравнений
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) для каждой критической точки Р0(a;b) исследовать, остается ли неизменным знак разности
для всех точек (х;у), достаточно близких к Р0. Если разность сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный - то максимум. Если разность не сохраняет знака, то в точке Р0 экстремума нет.
Аналогично определяют экстремумы функции при большем числе аргументов.
Когда в ноябре отмечают Всемирный день телевидения
17 декабря 1996 года Генеральная Ассамблея провозгласила 21 ноября «Всемирным днем телевидения» в ознаменование даты проведения первого Всемирного телевизионного форума в Организации Объединенных Наций. Государствам было предложено отмечать этот день, обмениваясь телевизионными программами, посвященными таким проблемам, как мир, безопаснос
Что такое черемуха
Черемуха — вид вишни, семейство розоцветные, произрастает в северной Европе и северной Азии. Это довольно высокий кустарник, который достигает до 16 метров в высоту. Обычно высота черемухи составляет около 9 метров. Характеризуется она своим душистым ароматом цветов. Растет не менее чем 800 метров над уровнем моря. Предпочитает кислые почвы дубовых
Какие две стадии включает период клеточного деления (фаза М)
Клеточный цикл — это период существования клетки от момента её образования путем деления материнской клетки до собственного деления или гибели. Длительность клеточного цикла у разных клеток варьируется. Быстро размножающиеся клетки взрослых организмов, такие как кроветворные или базальные клетки эпидермиса и тонкой кишки, могут входить в клеточный цикл
Почему у браузера Opera ("Опера") не отображается главное меню
Для экономии места на экране в браузере Opera, начиная с версии 10.5, по умолчанию выключено главное меню. Разработчики приняли такое решение в связи с распространением нетбуков, имеющих небольшие дисплеи, и широкоформатных ЖК-мониторов, у которых высота экрана значительно меньше его ширины. Доступ ко всем функциям, которые были в главном меню
Где расположен город Братск
Братск — город в России в Иркутской области. Географическое расположение Братска обусловило его превращение в «ворота» Севера. Город расположен в центре Восточно-Сибирского региона России в центральной части Ангарского кряжа на берегу Братского водохранилища на реке Ангаре. Расстояние до областного центра — города Иркутска:
Что такое аллегория
Аллегория (от греч. allegoria - иносказание) - одна из форм иносказания, условная передача отвлеченного понятия или суждения посредством конкретного образа. Аллегория наиболее распространена в изобразительном искусстве (женщина с повязкой на глазах и весами в руках - правосудие, якорь - надежда и т.д.). В литературе многие аллегорические образы
Как ухаживать за гелихризумом
Гелихризум (Бессмертник, Цмин)Латинское название: Helichrysum.Категории: однолетние растения, растения для альпинария.Семейство: сложноцветные (Compositae). Родина: гелихризум произрастает на территории умеренных районов Европы, Азии, Африки и Австралии. Родина цмина Милфордовой — окрестности Кейптауна.Форма: травянистое растени
Кто написал роман "Белые и черные"
Роман «Белые и черные» — о шахматах и о шахматистах. В качестве центральной фигуры романа выведен великий шахматист, чемпион мира Александр Алёхин. Автор романа «Белые и черные» — выдающийся советский шахматист, международный гроссмейстер, писатель, член Союза писателей
Каково полное название второй книги трилогии Даниеля Дефо о Робинзоне Крузо
Даниель Дефó (англ. Daniel Defoe; родился под именем Daniel Foe; ок. 1660 — 1731) — английский писатель и публицист, известен сегодня главным образом как автор романа «Робинзон Крузо» (таково принятое в научном литературоведении и издательской
Чем питаются горностаи
Горностай (Mustela erminea) — ценный пушной зверёк семейства куньих. Внешний вид. Все представители рода хорьков — зверьки с гибким удлиненным телом, очень изящные и подвижные, от куниц отличаются наличием белого цвета на кончике морды. Уши маленькие, округлые.Длина тела горностая — 16-3
С какими болезнями не берут в армию
Категории годности к военной службе («А», «Б», «В», «Г», «Д») определяются военно-врачебной комиссией при медицинском освидетельствовании призывника. А - годен к военной службе. Б &nd