Регрессивная функция. Методы математической статистики

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

Рассмотрим кратко этапы регрессионного анализа.

Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.

Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.

Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.

Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).

Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)

Оценка точности регрессионного анализа.

Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.

Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, - к другому классу.

Задачи регрессионного анализа

Рассмотрим основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии , оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Установление формы зависимости.

Характер и форма зависимости между переменными могут образовывать следующие разновидности регрессии:

положительная линейная регрессия (выражается в равномерном росте функции);

положительная равноускоренно возрастающая регрессия;

положительная равнозамедленно возрастающая регрессия;

отрицательная линейная регрессия (выражается в равномерном падении функции);

отрицательная равноускоренно убывающая регрессия;

отрицательная равнозамедленно убывающая регрессия.

Однако описанные разновидности обычно встречаются не в чистом виде, а в сочетании друг с другом. В таком случае говорят о комбинированных формах регрессии.

Определение функции регрессии.

Вторая задача сводится к выяснению действия на зависимую переменную главных факторов или причин, при неизменных прочих равных условиях, и при условии исключения воздействия на зависимую переменную случайных элементов. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа.

Оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Решение этой задачи сводится к решению задачи одного из типов:

Оценка значений зависимой переменной внутри рассматриваемого интервала исходных данных, т.е. пропущенных значений; при этом решается задача интерполяции.

Оценка будущих значений зависимой переменной, т.е. нахождение значений вне заданного интервала исходных данных; при этом решается задача экстраполяции.

Обе задачи решаются путем подстановки в уравнение регрессии найденных оценок параметров значений независимых переменных. Результат решения уравнения представляет собой оценку значения целевой (зависимой) переменной.

Рассмотрим некоторые предположения, на которые опирается регрессионный анализ.

Предположение линейности, т.е. предполагается, что связь между рассматриваемыми переменными является линейной. Так, в рассматриваемом примере мы построили диаграмму рассеивания и смогли увидеть явную линейную связь. Если же на диаграмме рассеивания переменных мы видим явное отсутствие линейной связи, т.е. присутствует нелинейная связь, следует использовать нелинейные методы анализа.

Предположение о нормальности остатков . Оно допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения можно воспользоваться гистограммамиостатков .

При использовании регрессионного анализа следует учитывать его основное ограничение. Оно состоит в том, что регрессионный анализ позволяет обнаружить лишь зависимости, а не связи, лежащие в основе этих зависимостей.

Регрессионный анализ дает возможность оценить степень связи между переменными путем вычисления предполагаемого значения переменной на основании нескольких известных значений.

Уравнение регрессии.

Уравнение регрессии выглядит следующим образом: Y=a+b*X

При помощи этого уравнения переменная Y выражается через константу a и угол наклона прямой (или угловой коэффициент) b, умноженный на значение переменной X. Константу a также называют свободным членом, а угловой коэффициент - коэффициентом регрессии или B-коэффициентом.

В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.

Остаток - это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения).

Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис "Пакет анализа" и инструмент анализа "Регрессия". Задаем входные интервалы X и Y. Входной интервал Y - это диапазон зависимых анализируемых данных, он должен включать один столбец. Входной интервал X - это диапазон независимых данных, которые необходимо проанализировать. Число входных диапазонов должно быть не больше 16.

На выходе процедуры в выходном диапазоне получаем отчет, приведенный в таблице 8.3а -8.3в .

ВЫВОД ИТОГОВ

Таблица 8.3а. Регрессионная статистика
Регрессионная статистика
Множественный R
R-квадрат
Нормированный R-квадрат
Стандартная ошибка
Наблюдения

Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а , - регрессионную статистику.

Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала .

В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.

Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значениеR-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.

множественный R - коэффициент множественной корреляции R - выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).

Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно,множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).

Таблица 8.3б. Коэффициенты регрессии
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение
Переменная X 1
* Приведен усеченный вариант расчетов

Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б . Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).

Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:

Y= x*2,305454545+2,694545455

Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).

Если знак при коэффициенте регрессии - положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии - отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

В таблице 8.3в . представлены результаты выводаостатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента "Регрессия" активировать чекбокс "Остатки".

ВЫВОД ОСТАТКА

Таблица 8.3в. Остатки
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки	Стандартные остатки

При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение остатка в нашем случае - 0,778, наименьшее - 0,043. Для лучшей интерпретации этих данных воспользуемся графиком исходных данных и построенной линией регрессии, представленными нарис. 8.3 . Как видим, линия регрессии достаточно точно "подогнана" под значения исходных данных.

Следует учитывать, что рассматриваемый пример является достаточно простым и далеко не всегда возможно качественное построение регрессионной прямой линейного вида.

Рис. 8.3. Исходные данные и линия регрессии

Осталась нерассмотренной задача оценки неизвестных будущих значений зависимой переменной на основании известных значений независимой переменной, т.е. задача прогнозирования.

Имея уравнение регрессии, задача прогнозирования сводится к решению уравнения Y= x*2,305454545+2,694545455 с известными значениями x. Результаты прогнозирования зависимой переменной Y на шесть шагов вперед представлены в таблице 8.4 .

Таблица 8.4. Результаты прогнозирования переменной Y
	Y(прогнозируемое)

Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Microsoft Excel мы:

построили уравнение регрессии;

установили форму зависимости и направление связи между переменными - положительная линейная регрессия, которая выражается в равномерном росте функции;

установили направление связи между переменными;

оценили качество полученной регрессионной прямой;

смогли увидеть отклонения расчетных данных от данных исходного набора;

предсказали будущие значения зависимой переменной.

Если функция регрессии определена, интерпретирована и обоснована, и оценка точности регрессионного анализа соответствует требованиям, можно считать, что построенная модель и прогнозные значения обладают достаточной надежностью.

Прогнозные значения, полученные таким способом, являются средними значениями, которые можно ожидать.

В этой работе мы рассмотрели основные характеристики описательной статистики и среди них такие понятия, каксреднее значение ,медиана ,максимум ,минимум и другие характеристики вариации данных.

Также было кратко рассмотрено понятие выбросов . Рассмотренные характеристики относятся к так называемому исследовательскому анализу данных, его выводы могут относиться не к генеральной совокупности, а лишь к выборке данных. Исследовательский анализ данных используется для получения первичных выводов и формирования гипотез относительно генеральной совокупности.

Также были рассмотрены основы корреляционного и регрессионного анализа, их задачи и возможности практического использования.

В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных.

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы - руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?

Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель - разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию - статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X . В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х 1 , Х 2 , …, X k ).

Скачать заметку в формате или , примеры в формате

Виды регрессионных моделей

где ρ 1 – коэффициент автокорреляции; если ρ 1 = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ 1 ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ 1 = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.

На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d L и d U для заданного числа наблюдений n , числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D < d L , гипотеза о независимости случайных отклонений отвергается (следовательно, присутствует положительная автокорреляция); если D > d U , гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d L < D < d U , нет достаточных оснований для принятия решения. Когда расчётное значение D превышает 2, то с d L и d U сравнивается не сам коэффициент D , а выражение (4 – D ).

Для вычисления статистики Дурбина-Уотсона в Excel обратимся к нижней таблице на рис. 14 Вывод остатка . Числитель в выражении (10) вычисляется с помощью функции =СУММКВРАЗН(массив1;массив2), а знаменатель =СУММКВ(массив) (рис. 16).

Рис. 16. Формулы расчета статистики Дурбина-Уотсона

В нашем примере D = 0,883. Основной вопрос заключается в следующем - какое значение статистики Дурбина-Уотсона следует считать достаточно малым, чтобы сделать вывод о существовании положительной автокорреляции? Необходимо соотнести значение D с критическими значениями (d L и d U ), зависящими от числа наблюдений n и уровня значимости α (рис. 17).

Рис. 17. Критические значения статистики Дурбина-Уотсона (фрагмент таблицы)

Таким образом, в задаче об объеме продаж в магазине, доставляющем товары на дом, существуют одна независимая переменная (k = 1), 15 наблюдений (n = 15) и уровень значимости α = 0,05. Следовательно, d L = 1,08 и d U = 1,36. Поскольку D = 0,883 < d L = 1,08, между остатками существует положительная автокорреляция, метод наименьших квадратов применять нельзя.

Проверка гипотез о наклоне и коэффициенте корреляции

Выше регрессия применялась исключительно для прогнозирования. Для определения коэффициентов регрессии и предсказания значения переменной Y при заданной величине переменной X использовался метод наименьших квадратов. Кроме того, мы рассмотрели среднеквадратичную ошибку оценки и коэффициент смешанной корреляции. Если анализ остатков подтверждает, что условия применимости метода наименьших квадратов не нарушаются, и модель простой линейной регрессии является адекватной, на основе выборочных данных можно утверждать, что между переменными в генеральной совокупности существует линейная зависимость.

Применение t -критерия для наклона. Проверяя, равен ли наклон генеральной совокупности β 1 нулю, можно определить, существует ли статистически значимая зависимость между переменными X и Y . Если эта гипотеза отклоняется, можно утверждать, что между переменными X и Y существует линейная зависимость. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0: β 1 = 0 (нет линейной зависимости), Н1: β 1 ≠ 0 (есть линейная зависимость). По определению t -статистика равна разности между выборочным наклоном и гипотетическим значением наклона генеральной совокупности, деленной на среднеквадратичную ошибку оценки наклона:

(11) t = (b 1 – β 1 ) / S b 1

где b 1 – наклон прямой регрессии по выборочным данным, β1 – гипотетический наклон прямой генеральной совокупности, , а тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

Проверим, существует ли статистически значимая зависимость между размером магазина и годовым объемом продаж при α = 0,05. t -критерий выводится наряду с другими параметрами при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к t-статистике – на рис. 18.

Рис. 18. Результаты применения t

Поскольку число магазинов n = 14 (см. рис.3), критическое значение t -статистики при уровне значимости α = 0,05 можно найти по формуле: t L =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,025;12) = –2,1788, где 0,025 – половина уровня значимости, а 12 = n – 2; t U =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = +2,1788.

Поскольку t -статистика = 10,64 > t U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н 0 отклоняется. С другой стороны, р -значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н 0 снова отклоняется. Тот факт, что р -значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.

Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы

Применение F -критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F -критерия. Напомним, что F -критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F -критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR , деленной на количество независимых переменных k ), к дисперсии ошибок (MSE = S Y X 2 ).

По определению F -статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR / MSE , где MSR = SSR / k , MSE = SSE /(n – k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F -распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.

При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F U , нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.

Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии

Аналогично t -критерию F -критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия ). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F -статистике – на рис. 21.

Рис. 21. Результаты применения F -критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel

F-статистика равна 113,23, а р -значение близко к нулю (ячейка Значимость F ). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F -распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F U = 4,7472, причем р -значение близко к 0 < 0,05, нулевая гипотеза Н 0 отклоняется, т.е. размер магазина тесно связан с его годовым объемом продаж.

Рис. 22. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, с одной и 12 степенями свободы

Доверительный интервал, содержащий наклон β 1 . Для проверки гипотезы о существовании линейной зависимости между переменными можно построить доверительный интервал, содержащий наклон β 1 и убедиться, что гипотетическое значение β 1 = 0 принадлежит этому интервалу. Центром доверительного интервала, содержащего наклон β 1 , является выборочный наклон b 1 , а его границами - величины b 1 ± t n –2 S b 1

Как показано на рис. 18, b 1 = +1,670, n = 14, S b 1 = 0,157. t 12 =СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,975;12) = 2,1788. Следовательно, b 1 ± t n –2 S b 1 = +1,670 ± 2,1788 * 0,157 = +1,670 ± 0,342, или + 1,328 ≤ β 1 ≤ +2,012. Таким образом, наклон генеральной совокупности с вероятностью 0,95 лежит в интервале от +1,328 до +2,012 (т.е. от 1 328 000 до 2 012 000 долл.). Поскольку эти величины больше нуля, между годовым объемом продаж и площадью магазина существует статистически значимая линейная зависимость. Если бы доверительный интервал содержал нуль, между переменными не было бы зависимости. Кроме того, доверительный интервал означает, что каждое увеличение площади магазина на 1 000 кв. футов приводит к увеличению среднего объема продаж на величину от 1 328 000 до 2 012 000 долларов.

Использование t -критерия для коэффициента корреляции. был введен коэффициент корреляции r , представляющий собой меру зависимости между двумя числовыми переменными. С его помощью можно установить, существует ли между двумя переменными статистически значимая связь. Обозначим коэффициент корреляции между генеральными совокупностями обеих переменных символом ρ. Нулевая и альтернативная гипотезы формулируются следующим образом: Н 0 : ρ = 0 (нет корреляции), Н 1 : ρ ≠ 0 (есть корреляция). Проверка существования корреляции:

где r = + , если b 1 > 0, r = – , если b 1 < 0. Тестовая статистика t имеет t -распределение с n – 2 степенями свободы.

В задаче о сети магазинов Sunflowers r 2 = 0,904, а b 1 - +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b 1 > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t -статистику:

При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.

При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.

Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений

В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X .

Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов ) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y X . В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X :

где , = b 0 + b 1 X i – предсказанное значение переменное Y при X = X i , S YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X i - заданное значение переменной X , µ Y | X = X i – математическое ожидание переменной Y при Х = Х i , SSX =

Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X i . Если значение переменной Y предсказывается для величин X , близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.

Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:

Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.

Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X , часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y X = Xi при конкретном значении переменной X i определяется по формуле:

Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:

Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.

Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии

Трудности, связанные с регрессионным анализом:

• Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
• Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
• Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
• Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
• Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
• Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.

Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?

Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел - вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).

Рис. 23. Четыре набора искусственных данных

Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)

Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.

Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных

Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, - набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х 8 = 19, Y 8 = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.

Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных

Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:

• Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
• Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
• Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
• Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
• Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
• Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
• Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
• Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.

Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t -критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.

Рис. 27. Структурная схема заметки

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872

Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.

В своих работах, датированных ещё 1908 годом. Он описал его на примере работы агента, осуществляющего продажу недвижимости. В своих записях специалист по торговле домами вёл учёт широкого спектра исходных данных каждого конкретного строения. По результатам торгов определялось, какой фактор имел наибольшее влияние на цену сделки.

Анализ большого количества сделок дал интересные результаты. На конечную стоимость оказывали влияние множество факторов, иногда приводя к парадоксальным выводам и даже к явным «выбросам», когда дом с высоким изначальным потенциалом продавался по заниженному ценовому показателю.

Вторым примером применения подобного анализа приведена работа которому было доверено определение вознаграждения сотрудникам. Сложность задачи заключалась в том, что требовалась не раздача фиксированной суммы каждому, а строгое соответствие её величины конкретно выполненной работе. Появление множества задач, имеющих практически сходный вариант решения, потребовало более детального их изучения на математическом уровне.

В существенное место было отведено под раздел «регрессионный анализ», в нём объединились практические методы, используемые для исследования зависимостей, подпадающих под понятие регрессионных. Эти взаимосвязи наблюдаются между данными, полученными в ходе статистических исследований.

Среди множества решаемых задач основными ставит перед собой три цели: определение для уравнения регрессии общего вида; построение оценок параметров, являющихся неизвестными, которые входят в состав уравнения регрессии; проверка статистических регрессионных гипотез. В ходе изучения связи, возникающей между парой величин, полученных в результате экспериментальных наблюдений и составляющих ряд (множество) типа (x1, y1), ..., (xn, yn), опираются на положения теории регрессии и предполагают, что для одной величины Y наблюдается определённое вероятностное распределение, при том, что другое X остаётся фиксированным.

Результат Y зависит от значения переменной X, зависимость эта может определяться различными закономерностями, при этом на точность полученных результатов оказывает влияние характер наблюдений и цель анализа. Экспериментальная модель основывается на определённых допущениях, которые являются упрощёнными, но правдоподобными. Основным условием является то, что параметр X является величиной контролируемой. Его значения задаются до начала эксперимента.

Если в ходе эксперимента используется пара неконтролируемых величин XY, то регрессионный анализ осуществляется одним и тем же способом, но для интерпретации результатов, в ходе которой изучается связь исследуемых случайных величин, применяются методы Методы математической статистики не являются отвлеченной темой. Они находят себе применение в жизни в самых различных сферах деятельности человека.

В научной литературе для определения выше указанного метода нашёл широкое использование термин линейный регрессионный анализ. Для переменной X применяют термин регрессор или предиктор, а зависимые Y-переменные ещё называют критериальными. В данной терминологии отражается лишь математическая зависимость переменных, но никак не следственно-причинные отношения.

Регрессионный анализ служит наиболее распространённым методом, который используется в ходе обработки результатов самых различных наблюдений. Физические и биологические зависимости изучаются по средствам данного метода, он реализован и в экономике, и в технике. Масса других областей используют модели регрессионного анализа. Дисперсионный анализ, статистический анализ многомерный тесно сотрудничают с данным способом изучения.

Характеристика причинных зависимостей

Причинно-следственные отношения – это связь явлений и процессов, когда изменение одного из них – причины – ведет к изменению другого – следствия.

Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два класса.

Признаки, обуславливающие изменения других, связанных с ними признаков, называются факторными (или факторами).

Признаки, изменяющиеся под действием факторных признаков, являются результативными.

Различают следующие формы связи: функциональную и стохастическую. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Функциональная связь проявляется во всех случаях наблюдения и для каждой конкретной единицы исследуемой совокупности.

Функциональную связь можно представить следующим уравнением:
y i =f(x i), где: y i - результативный признак; f(x i) - известная функция связи результативного и факторного признаков; x i - факторный признак.
В реальной природе функциональных связей нет. Они являются лишь абстракциями, полезными при анализе явлений, но упрощающими реальность.

Стохастическая (статистическая или случайная) связь представляет собой связь между величинами, при которой одна из них реагирует на изменение другой величины или других величин изменением закона распределения. Иными словами, при данной связи разным значениям одной переменной соответствуют разные распределения другой переменной. Это обуславливается тем, что зависимая переменная, кроме рассматриваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых случайных факторов, а также некоторых неизбежных ошибок измерения переменных. В связи с тем, что значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а могут быть только указаны с определенной вероятностью.

В силу неоднозначности стохастической зависимости между Y и X, в частности представляет интерес усредненная по х схема зависимости, т.е. закономерность в изменении среднего значения – условного математического ожидания Мх(У) (математического ожидания случайной переменной У, найденного при условии, что переменная Х приняла значение х) в зависимости от х.

Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь. Корреля́ция (от лат. correlatio - соотношение, взаимосвязь). Прямое токование термина корреляция - стохастическая, вероятная, возможная связь между двумя (парная) или несколькими (множественная) случайными величинами.

Корреляционной зависимостью между двумя переменными также называют статистическую взаимосвязь между этими переменными, при которой каждому значению одной переменной соответствует определенное среднее значение, т.е. условное математическое ожидание другой. Корреляционная зависимость является частным случаем стохастиче­ской зависимости, при которой изменение значений факторных признаков (х 1 х 2 ..., х n) влечет за собой изменение среднего значения результативно­го признака.

Принято различать следующие виды корреляции:

1. Парная корреляция – связь между двумя признаками (результативным и факторным или двумя факторными).

2. Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков, включенных в исследование.

3. Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Назначение регрессионного анализа

Аналитической формой представления причинно-следственных отношений являются регрессионные модели. Научная обоснованность и популярность регрессионного анализа делает его одним из основных математических средств моделирования исследуемого явления. Этот метод применяется для сглаживания экспериментальных данных и получения количественных оценок сравнительного влияния различных факторов на результативную переменную.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в котором изменение одной величины (зависимой переменной или результативного признака) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов или предикторов), а множество всех прочих факторов, также оказывающих влияние на зависимую величину, принимается за постоянные и средние значения.

Цели регрессионного анализа:

Оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака у от факторных (х 1 ,х 2 , …, х n);

Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых).

Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой переменной.

Регрессионный анализ нельзя использовать для определения наличия связи между переменными, поскольку наличие такой связи и есть предпосылка для применения анализа.

В регрессионном анализе зара­нее подразумевается наличие причинно-следственных связей между ре­зультативным (У) и факторными х 1 , х 2 ..., х n признаками.

Функция , оп исывающая зависимость показателя от параметров, называется уравнением (функцией) регрессии 1 . Уравнение регрессии показывает ожидаемое значение зависимой переменной при определенных значениях независимых переменных .
В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии). В зависимости от вида функции модели делятся на линейные и нелинейные.

Парная регрессионная модель

В силу воздействия неучтенных случайных факторов и причин отдельные наблюдения у будут в большей или меньшей мере отклоняться от функции регрессии f(х). В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных (парная регрессионная модель) может быть представлено в виде:

Y=f(X) + ɛ,

где ɛ - случайная переменная, характеризующая отклонение от функции регрессии. Эту переменную называют возмущающей или возмущением (остатком или ошибкой). Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная Y есть некоторая функция f(X) с точностью до случайного возмущения ɛ.

Рассмотрим классическую линейную модель парной регрессии (КЛМПР). Она имеет вид

у i =β 0 +β 1 х i +ɛ i (i=1,2, …, n), (1)

где у i –объясняемая (результирующая, зависимая, эндогенная переменная);х i – объясняющая (предикторная, факторная, экзогенная) переменная; β 0 , β 1 – числовые коэффициенты; ɛ i – случайная (стохастическая) составляющая или ошибка.

Основные условия (предпосылки, гипотезы) КЛМПР:

1) х i – детерминированная (неслучайная) величина, при этом предполагается, что среди значений х i – не все одинаковые.

2) Математическое ожидание (среднее значение) возмущения ɛ i равно нулю:

М[ɛ i ]=0 (i=1,2, …, n).

3) Дисперсия возмущения постоянна для любых значений i (условие гомоскедастичности):

D[ɛ i ]=σ 2 (i=1,2, …, n).

4) Возмущения для разных наблюдений являются некоррелированными:

cov[ɛ i , ɛ j ]=M[ɛ i , ɛ j ]=0 при i≠j,

где cov[ɛ i , ɛ j ] – коэффициент ковариации (корреляционный момент).

5) Возмущения являются нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним значением и дисперсией σ 2:

ɛ i ≈ N(0, σ 2).

Для получения уравнения регрессии достаточно первых четырех предпосылок. Требование выполнения пятой предпосылки необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

Замечание: Внимание к линейным связям объясняется ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейные формы связи для выполнения расчётов преобразуют (путём логарифмирования или замены переменных) в линейную форму.

Традиционный метод наименьших квадратов (МНК)

Оценкой модели по выборке является уравнение

ŷ i = a 0 + a 1 x i (i=1,2, …, n), (2)

где ŷ i – теоретические (аппроксимирующие) значения зависимой переменной, полученные по уравнению регрессии; a 0 , a 1 - коэффициенты (параметры) уравнения регрессии (выборочные оценки коэффициентов β 0 , β 1 соответственно).

Согласно МНК неизвестные параметры a 0 , a 1 выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений значений ŷ i от эмпирических значений y i (остаточная сумма квадратов) была минимальной:

Q e =∑e i 2 = ∑(y i – ŷ i) 2 = ∑(yi – (a 0 + a 1 x i)) 2 → min, (3)

где e i = y i - ŷ i – выборочная оценка возмущения ɛ i , или остаток регрессии.

Задача сводится к отысканию таких значений параметров a 0 и a 1 , при которых функция Q e принимает наименьшее значение. Заметим, что функция Q e = Q e (a 0 , a 1) есть функция двух переменных a 0 и a 1 до тех пор, пока мы не нашли, а затем зафиксировали их «наилучшие» (в смысле метода наименьших квадратов) значения, а х i , y i – постоянные числа, найденные экспериментально.

Необходимые условия экстремума (3) находятся путем приравнивания к нулю частных производных этой функции двух переменных. В результате получим систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

(4)

Коэффициент a 1 – выборочный коэффициент регрессии у на х, который показывает на сколько единиц в среднем изменяется переменная у при изменении переменной х на одну единицу своего измерения, то есть вариацию у, приходящуюся на единицу вариации х. Знак a 1 указывает направление этого изменения. Коэффициент a 0 – смещение, согласно (2) равен значению ŷ i при х=0 и может не иметь содержательной интерпретации. За это иногда зависимую переменную называют откликом.

Статистические свойства оценок коэффициентов регрессии:

Оценки коэффициентов a 0 , a 1 являются несмещенными;

Дисперсии оценок a 0 , a 1 уменьшаются (точность оценок увеличивается) при увеличении объема выборки n;

Дисперсия оценки углового коэффициента a 1 уменьшается при увеличении и поэтому желательно выбирать х i так, чтобы их разброс вокруг среднего значения был большим;

При х¯ > 0 (что представляет наибольший интерес) между a 0 и a 1 имеется отрицательная статистическая связь (увеличение a 1 приводит к уменьшению a 0).

А) Графический анализ простой линейной регрессии.

Простое линейное уравнение регрессии y=a+bx. Если между случайными величинами У и X существует корреляционная связь, то значение у = ý + ,

где ý – теоретическое значение у, полученное из уравнения ý = f(x),

 – погрешность отклонения теоретического уравнения ý от фактических (экспериментальных) данных.

Уравнение зависимости средней величины ý от х, то есть ý = f(x) называют уравнением регрессии. Регрессионный анализ состоит из четырёх зтапов:

1) постановка задачи и установление причин связи.

2) ограничение объекта исследований, сбор статастической информации.

3) выбор уравнения связи на основе анализа и характера собранных данных.

4) расчёт числовых значений, характеристик корреляционной связи.

Если две переменные связаны таким образом, что изменение одной переменной соответствует систематическому изменению другой переменной, то для оценки и выбора уравнения связи между ними применяют регрессионный анализ в том случае, если эти переменные известны. В отличие от регрессионного анализа, корреляционный анализ применяют для анализа тесноты связи между X и У.

Рассмотрим нахождение прямой при регрессионном анализе:

Теоретическое уравнение регрессии.

Термин «простая регрессия» указывает на то, что величина одной переменной оценивается на основе знаний о другой переменной. В отличие от простой многофакторная регрессия применяется для оценки переменной на основе знания двух, трёх и более переменных. Рассмотрим графический анализ простой линейной регрессии.

Предположим, имеются результаты отборочных испытании по предварительному найму на работу и производительности труда.

	Результаты отбора (100 баллов), x	Производительность (20 баллов), y

Нанеся точки на график, получим диаграмму (поле) рассеяния. Используем её для анализа результатов отборочных испытаний и производительности труда.

По диаграмме рассеяния проанализируем линию регрессии. В регрессионном анализе всегда указываются хотя бы две переменные. Систематическое изменение одной переменной связано с изменением другой. Основная цель регрессионного анализа заключается в оценке величины одной переменной, если величина другой переменной известна. Для полной задачи важна оценка производительности труда.

Независимой переменной в регрессионном анализе называется величина, которая используется в качестве основы для анализа другой переменной. В данном случае – это результаты отборочных испытаний (по оси X).

Зависимой переменной называется оцениваемая величина (по оси У). В регрессионном анализе может быть только одна зависимая переменная и несколько независимых переменных.

Для простого регрессионного анализа зависимость можно представить в двухкоординатной системе (х и у), по оси X – независимая переменная, по оси У – зависимая. Наносим точки пересечения таким образом, чтобы на графике была представлена пара величин. График называют диаграммой рассеяния . Ее построение – это второй этап регрессионного анализа, поскольку первый – это выбор анализируемых величин и сбор данных выборки. Таким образом, регрессионный анализ применяется для статистического анализа. Связь между выборочными данными диаграммы линейная.

Для оценки величины переменной у на основе переменной х необходимо определить положение линии, которая наилучшим образом представляет связь между х и у на основе расположения точек диаграммы рассеяния. В нашем примере это анализ производительности. Линия, проведенная через точки рассеяния – линия регрессии . Одним из способов построения линии регрессии, основанном на визуальном опыте, является способ построения от руки. По нашей линии регрессии можно определить производительность труда. При нахождении уравнения линии регрессии

часто применяют критерий наименьших квадратов. Наиболее подходящей является та линия, где сумма квадратов отклонений минимальна

Математическое уравнение линии роста представляет закон роста в арифметической прогрессии:

у = а – b х .

Y = а + b х – приведённое уравнение с одним параметром является простейшим видом уравнения связи. Оно приемлемо для средних величин. Чтобы точнее выразить связь между х и у , вводится дополнительный коэффициент пропорциональности b , который указывает наклон линии регрессии.

Б) Построение теоретической линии регрессии.

Процесс её нахождения заключается в выборе и обосновании типа кривой и расчётов параметров а , b , с и т.д. Процесс построения называют выравниванием, и запас кривых, предлагаемых мат. анализом, разнообразен. Чаще всего в экономических задачах используют семейство кривых, уравнения которые выражаются многочленами целых положительных степеней.

1)
– уравнение прямой,

2)
– уравнение гиперболы,

3)
– уравнение параболы,

где ý – ординаты теоретической линии регрессии.

Выбрав тип уравнения, необходимо найти параметры, от которых зависит это уравнение. Например, характер расположения точек в поле рассеяния показал, что теоретическая линия регрессии является прямой.

Диаграмма рассеяния позволяет представить производительность труда с помощью регрессионного анализа. В экономике с помощью регрессионного анализа предсказываются многие характеристики, влияющие на конечный продукт (с учётом ценообразования).

В) Критерий наименьших кадратов для нахождения прямой линии.

Один из критериев, которые мы могли бы применить для подходящей линии регрессии на диаграмме рассеяния, основан на выборе линии, для которой сумма квадратов погрешностей будет минимальна.

Близость точек рассеяния к прямой измеряется ординатами отрезков. Отклонения этих точек могут быть положительными и отрицательными, но сумма квадратов отклонений теоретической прямой от экспериментальной всегда положительна и должна быть минимальна. Факт несовпадения всех точек рассеяния с положением линии регрессии указывает на существование расхождения между экспериментальными и теоретическими данными. Таким образом, можно сказать, что никакая другая линия регрессии, кроме той, которую нашли, не может дать меньшую сумму отклонений между экспериментальными и опытными данными. Следовательно, найдя теоретическое уравнение ý и линию регрессии, мы удовлетворяем требованию наименьших квадратов.

Это делается с помощью уравнения связи
, используя формулы для нахождения параметров а и b . Взяв теоретическое значение
и обозначив левую часть уравнения черезf , получим функцию
от неизвестных параметрова и b . Значения а и b будут удовлетворять минимуму функции f и находятся из уравнений частных производных
и
. Этонеобходимое условие , однако для положительной квадратической функции это является и достаточным условием для нахождения а и b .

Выведем из уравнений частных производных формулы параметров а и b :

получим систему уравнений:

где
– среднеарифметические погрешности.

Подставив числовые значения, найдем параметры а и b .

Существует понятие
. Это коэффициент аппроксимации.

Если е < 33%, то модель приемлема для дальнейшего анализа;

Если е > 33%, то берём гиперболу, параболу и т.д. Это даёт право для анализа в различных ситуациях.

Вывод: по критерию коэффициента аппроксимации наиболее подходящей является та линия, для которых

, и никакая другая линия регрессии для нашей задачи не даёт минимум отклонений.

Г) Квадратическая ошибка оценки, проверка их типичности.

Применительно к совокупности, у которой число параметров исследования меньше 30 (n < 30), для проверки типичности параметров уравнения регрессии используется t -критерий Стьюдента. При этом вычисляется фактическое значение t -критерия:

Отсюда

где – остаточная среднеквадратическая погрешность. Полученныеt a и t b сравнивают с критическим t k из таблицы Стьюдента с учётом принятого уровня значимости ( = 0,01 = 99% или  = 0,05 = 95%). P = f = k 1 = m – число параметров исследуемого уравнения (степень свободы). Например, если y = a + bx ; m = 2, k 2 = f 2 = p 2 = n – (m + 1), где n – количество исследуемых признаков.

t a < t k < t b .

Вывод : по проверенным на типичность параметрам уравнения регрессии производится построение математической модели связи
. При этом параметры примененной в анализе математической функции (линейная, гипербола, парабола) получают соответствующие количественные значения. Смысловое содержание полученных таким образом моделей состоит в том, что они характеризуют среднюю величину результативного признака
от факторного признака X .

Д) Криволинейная регрессия.

Довольно часто встречается криволинейная зависимость, когда между переменными устанавливается меняющееся соотношение. Интенсивность возрастания (убывания) зависит от уровня нахождения X. Криволинейная зависимость бывает разных видов. Например, рассмотрим зависимость между урожаем и осадками. С увеличением осадков при равных природных условиях интенсивное увеличение урожая, но до определенного предела. После критической точки осадки оказываются излишними, и урожайность катастрофически падает. Из примера видно, что вначале связь была положительной, а потом отрицательной. Критическая точка - оптимальный уровень признака X, которому соответствует максимальное или минимальное значение признака У.

В экономике такая связь наблюдается между ценой и потреблением, производительностью и стажем.

Параболическая зависимость.

Если данные показывают, что увеличение факторного признака приводит к росту результативного признака, то в качестве уравнения регрессии берется уравнение второго порядка (парабола).

. Коэффициенты a,b,c находятся из уравнений частных производных:

Получаем систему уравнений:

Виды криволинейных уравнений:

,

,

Вправе предполагать, что между производительностью труда и баллами отборочных испытаний существует криволинейная зависимость. Это означает, что с ростом бальной системы производительность начнёт на каком-то уровне уменьшаться, поэтому прямая модель может оказаться криволинейной.

Третьей моделью будет гипербола, и во всех уравнениях вместо переменной х будет стоять выражение .