Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт управления бизнес-процессами и экономики

Кафедра теоретические основы экономики

Лабораторная работа № 2

по курсу эконометрика

(Вариант 6,7)

Руководитель _______________ Середа В.А.

подпись, дата

Студентка, УБ11-01 _______________ Ивкина В.А.

подпись, дата

Красноярск 2013

Введение……………………………………….…………………………………..3

1.Линейное уравнение регрессии 5

2.Показательное уравнение регрессии 7

3.Логарифмическое уравнение регрессии 9

Логарифмическое уравнение регрессии определяется по формуле: 9

Получим логарифмическое уравнение регрессии: 9

5.Поверка значимости уравнения регрессии и отдельных коэффициентов линейного уравнения 13

6.Построение интервального прогноза для значения x = xmax по уравнению линейной регрессии 17

7.Средний коэффициент эластичности 20

Цель работы: Закрепить навыки построения уравнений регрессии, графиков уравнений, вычисления оценок и построения доверительных интервалов для уравнений регрессии.

Построить уравнения регрессии, включая линейную регрессию

Вычислить индексы парной корреляции для каждого уравнения

Проверить значимость уравнений регрессии и отдельных коэффициентов линейного уравнения

Определить лучшее уравнение регрессии на основе средней ошибки аппроксимации

Построить интервальный прогноз для значения x=x max для линейного уравнения регрессии

Определить средний коэффициент эластичности

Исходные данные:

Области и республики	Холодильники. Морозильники.(X )	Стиральные машины.(Y)
Белгородская область
Брянская область
Владимирская область
Воронежская область
Ивановская область
Калужская область
Костромская область
Курская область
Липецкая область
Московская область
Орловская область
Рязанская область
Смоленская область
Тамбовская область
Тверская область
Тульская область
Ярославская область
Республика Карелия
Республика Коми
Архангельская область
Вологодская область
Калининградская область
Ленинградская область
Мурманская область
Новгородская область
Псковская область
Краснодарский край
Ставропольский край
Астраханская область
Волгоградская область
Ростовская область
Республика Башкортостан
Республика Марий Эл
Республика Мордовия
Республика Татарстан
Удмуртская Республика
Чувашская Республика
Кировская область
Нижегородская область
Оренбургская область
Пензенская область
Пермская область
Самарская область
Саратовская область
Ульяновская область

1. Линейное уравнение регрессии

Формула линейного уравнения регрессии (1)

x,y – переменные,

a,b – параметры.

Система нормальных уравнений (2) в общем виде:

(2)

n - количество наблюдений в совокупности.

Система нормальных уравнений с вычисленными коэффициентами:

Решение системы:

Построенное линейное уравнение регрессии:

Рис. 1 График линейного уравнения регрессии

1. Показательное уравнение регрессии

Показательное уравнение регрессии имеет следующий вид:

,

,

x,y – то же что и в формуле (1),

Найдем b 0 и b 1:

Полечим показательное уравнение регрессии:

1. Логарифмическое уравнение регрессии

Логарифмическое уравнение регрессии определяется по формуле:

x,y – то же что и в формуле (1),

b – то же что и в формуле (1),

,

(8),

x,y – то же что и в формуле (1),

b – то же что и в формуле (1),

n – то же что и в формуле (2).

Найдем b 0 и b 1:

Получим логарифмическое уравнение регрессии:

Рис. 1 График логарифмического уравнения регрессии

Индекс парной корреляции для уравнений регрессии

Индекс парной корреляции исчисляется по следующей формуле:

(9)

y – то же что и в формуле (1),

–значение у из исследуемого уравнения,

Среднее значение y.

Для оценки качества построенной модели регрессии можно использовать индекс детерминации или среднюю ошибку аппроксимации. Чем выше показатель детерминации или чем ниже ошибка аппроксимации, чем лучше модель описывает исходные данные.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее относительное отклонение расчетных значений от фактических, рассчитывается по формуле

(10)

y – то же что и в фотрмуле (1).

Индекс парной корреляции для линейного уравнения регрессии:

= 0,92

Средняя ошибка аппроксимации для линейного уравнения регрессии:

=6%

Индекс парной корреляции для логарифмического уравнения регрессии:

=0,95

Средняя ошибка аппроксимации для логарифмического уравнения регрессии:

=6%

Построенные уравнения считаются удовлетворительными, так как . Коэффициент детерминации достаточно высокий, а это значит, что модель точно описывает исходные данные.

1. Поверка значимости уравнения регрессии и отдельных коэффициентов линейного уравнения

Оценка статистической значимости уравнения регрессии в целом осуществляется с помощью F -критерия Фишера.

Величина F факт определяется по формуле:

(11)

Индекс детерминации,

n – то же что и в формуле (2),

m – число параметров при переменных.

Таким образом, для

F факт = =2,26

F крит =4,08, при α =0,05

F табл >

=3,87

F крит =4,08, при α =0,05

F табл >F факт, гипотеза H 0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов линейной регрессии применяется t- критерий Стьюдента:

Величины t b ,факт и t a , факт определяются по формулам:

a,b – то же что и в формуле (1),

r xy - коэффициент корреляции,

m b , m a , m rxy – стандартные ошибки.

Таким образом, для

линейного уравнения регрессии:

логарифмического уравнения регрессии:

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

(15)

(16)

Где, y – то же что и в формуле (1),

–то же что и в формуле (9),

То же что и в формуле (9),

Многомерный регрессионный анализ позволяет разграничить влияние факторных признаков. Параметр регрессии при каждом факторном признакедает оценку его влияния на величину результативного признака
в случае изменения на единицу при постоянстве всех остальных факторов.

Прогнозирование на основе полученной модели выполняется аналогично прогнозам парной линейной регрессии.

Точечный прогноз получается при подстановке прогнозных значений факторных признаковв уравнение регрессии. Полученное значение является точечным прогнозом результативного признака
.

Интервальный прогноз указывает нижнюю и верхнюю границу промежутка, в котором находится истинное значение прогнозируемого показателя
. Доверительный интервал определяется выражением

т.е. истинное значение прогнозируемого показателя
с вероятностью 1 -принадлежит доверительному интервалу.

Пример 3.9. По данным таблицы 3.17 записать уравнение регрессии и выполнить анализ полученной модели.

Решение. Так как инструмент «Регрессия» может выполнять только линейный регрессионный анализ, то в итоге имеем следующее уравнение многомерной линейной регрессии

Таблица 3.17. Результаты работы инструментаРегрессия

Выполним анализ полученной модели регрессии:

Следовательно, модель регрессии пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозирования.

Проанализируем наличие парной корреляционной связи между факторными признаками, входящими в модель регрессии, по корреляционной матрице (рис.3.8):

Рис.3.8. Корреляционная матрица

Обозначения к корреляционной матрице: - производительность труда (среднегодовая выработка продукции на одного работника), тыс. грн.;
- трудоемкость единицы продукции;
- удельный вес рабочих в составе промышленно-производственного персонала;
-коэффициент сменности оборудования;- премии и вознаграждения на одного работника, %;
- непроизводственные расходы, %.

Следовательно, на основе исследуемой многомерной выборки можно сделать вывод, что из рассматриваемых факторных признаков на производительность труда оказывают влияние трудоемкость единицы продукции и премии. Эти факторные признаки следует включить в модель многомерной нелинейной регрессии.

Так как коэффициент детерминации сравнительно мал, то при разработке модели регрессии следует рассмотреть дополнительные неучтенные факторные признаки.

В таблице 3.18 приведены результаты работы инструмента «Регрессия» для модели регрессии без факторного признака
Выполните анализ этой модели регрессии.

Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:

• линейной;
• параболической;
• степенной;
• экспоненциальной;
• гиперболической;
• показательной;
• логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:

		Количество уволившихся	Зарплата
			30000 рублей
			35000 рублей
			40000 рублей
			45000 рублей
			50000 рублей
			55000 рублей
			60000 рублей

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.

Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

• с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
• в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
• щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
• поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

• щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
• в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
• в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
• подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Анализ коэффициентов

Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.

Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.

Множественная регрессия

Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).

Оценка параметров

Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)

Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой

Отсюда получаем:

где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.

МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:

в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.

Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.

	номер месяца	название месяца	цена товара N
			1750 рублей за тонну
			1755 рублей за тонну
			1767 рублей за тонну
			1760 рублей за тонну
			1770 рублей за тонну
			1790 рублей за тонну
			1810 рублей за тонну
			1840 рублей за тонну

Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.

Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:

Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.

или в алгебраических обозначениях

y = 11,714 x + 1727,54

Анализ результатов

Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.

КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.

Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.

F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.

(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

• кредиторская задолженность (VK);
• объем годового оборота (VO);
• дебиторская задолженность (VD);
• стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

• вызывают окно «Анализ данных»;
• выбирают раздел «Регрессия»;
• в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
• щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.

Экспоненциальная регрессия имеет вид

ŷ = е aх + b (или ŷ = ba х ); (24)

степенная регрессия имеет вид

ŷ = bх а ; (25)

Для нахождения коэффициентов а иb предварительно проводят процедуру линеаризации выражений (24) и (25):

lnŷ =lnb+ x lnа, (26)

lnŷ =lnb +а lnx , (27)

а затем уже строят линейную регрессию между lnŷ и х для экспоненциальной регрессии, и между lnŷ и lnх для степенной регрессии.

Наибольшее распространение степенной функции в эконометрике связано с тем, что параметр а имеет четкое экономическое истолкование, – он является коэффициентом эластичности. Это значит, что коэффициент b показывает, на сколько % в среднем изменится результат, если фактор изменится на 1%.

Для вычисления параметров экспоненциальной регрессии (24) на компьютере используется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ . Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН .

Для вычисления параметров степенной регрессии после преобразования исходных данных в соответствие с (27), можно воспользоваться функцией ЛИНЕЙН.

Для получения графиков однофакторных регрессий можно применить Мастер диаграмм , строя предварительно непрерывный или точечный график исходных данных (диаграмму рассеяния), а затем использовать режим Добавить линию тренда , причем в этом режиме Excel предоставляет возможность выбора шести функций – линейной, логарифмической, полиномиальной, степенной, экспоненциальной и скользящей средней. После выбора функции в режиме Параметры задайте флажок Показывать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации( R ^2) .

4. Временные ряды.

4.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда в динамических рядах экономических показателей.

Методы математической статистики широко применяются для анализа экономических временных рядов .

В общем случае временной ряд содержит детерминированную и случайную составляющие:

у t =f(t,х t)+ t , t=1,…,Т,

гдеу t – значения временного ряда; f(t,х t) – детерминированная составляющая; х t – значения факторов, влияющих на детерминированную составляющую в момент t;  t – случайная составляющая; Т – длина ряда.

Получив оценки детерминированной и случайной составляющих, решают задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.

Если детерминированная составляющая зависит только от времени и линейна относительно своих параметров, то задача сводится к задаче множественной линейной регрессии, рассмотренной выше.

Действительно, в этом случае

у t = 0 + 1  1 (t) + 2  2 (t) +…+ m  m (t)+ t , t=1,…,Т. (28)

В частном случае,

у t = 0 + 1 t 1 + 2 t 2 +…+ m t m +  t , t=1,…,Т. (29)

Детерминированная составляющая в свою очередь представляется тремя составляющими.

Долговременная эволюторно изменяющаяся составляющая является результатом действия факторов, приводящих к постепенному изменению экономического показателя. Так, в результате научно-технического прогресса, совершенствования системы управления производством показатели эффективности производства растут, а удельные расходы на единицу полезного эффекта снижаются.

Долговременная циклическая составляющая проявляется на протяжении длительного времени в результате действия факторов, обладающих большим последействием или циклически изменяющихся во времени. Например, кризисы перепроизводства или периодичность солнечной активности, влияющая на урожайность.

Сезонная циклическая составляющая легко просматривается в колебаниях продуктивности сельскохозяйственных животных, а также в колебаниях розничного товарооборота в зависимости от времени года.

Многие исследователи первую составляющую называют трендом , другие трендом называют все три составляющие.

Эволюторно изменяющуюся долговременную составляющую во многих практических случаях представляют в виде некоторой аналитической функции (см. ниже), тогда как долговременная и сезонная циклические составляющие представляются тригонометрическими трендами .

Для построения эволюторных трендов (моделирования тенденции) чаще всего применяются те же функции, которые мы рассматривали выше:

линейный тренд: ŷ t =b + at ;

гипербола: ŷ t = b+a /t ;

экспоненциальный тренд: ŷ t = е b+ a t (или ŷ t =ba t );

тренд в форме степенной функции ŷ t = b t a ;

полином порядка m: ŷ t = b + a 1 t + a 2 t 2 +…+ a m t m .

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t. Для нелинейных трендов предварительно проводят процедуру их линеаризации.

Пример 6 . Имеются помесячные данные о темпах роста заработной платы в РФ за 10 месяцев 2004 г. в процентах к уровню декабря 2003г. (табл. 10). Требуется выбрать наилучший тип тренда и определить его параметры.

Таблица 10

Определим параметры основных видов тренда. Результаты этих расчетов представлены в табл. 11.

Таблица 11

Наилучшей является степенная форма тренда, которая в исходном виде (после потенцирования) примет следующий вид

ŷ t = е 4.39 t 0,193

или ŷ t = 80,32t 0,193 .

Наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов.

Параметры линейного тренда можно интерпретировать так:

b – начальный уровень временного ряда при t =0;

a – средний за период абсолютный прирост ряда.

Применительно к примеру 6 можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2004г. изменялись от 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом 4,72%.

Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию:

b – начальный уровень временного ряда при t =0;

е a – средний за период коэффициент роста ряда.

В примере 6 уравнение экспоненциального тренда в исходной форме имеет вид

ŷ t = е 4.43 е 0,045 t

или ŷ t = 83,96е 0,045 t .

Следовательно, можно сказать, что темпы роста месячной заработной платы за 10 месяцев 2004г. изменялись от 83,96% со средним за месяц темпом роста, равным е 0,045 = 1,046.

Моделирование сезонных и циклических колебаний.

Общий вид модели (аддитивной) следующий:

где Т – трендовая, S – сезонная и Е – случайная компонента.

S может моделироваться с помощью тригонометрических функций, однако можно обойтись и более простым способом, суть которого разберем на простом примере.

Пример 7. Пусть известны объемы потребления электроэнергии жителями района за четыре года (табл.12).

Таблица 12

№ квартала	Потребление электроэнергии	Итого за 4 квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4 (объемы потребления электроэнергии в осенне-зимний период выше, чем весной и летом).

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных данных методом скользящей средней. Для этого:

а) просуммируем у t последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один (гр.3 табл. 12);

б) разделив эти суммы на 4, найдем скользящие средние (гр.4 табл. 12);

в) приведем эти значения к соответствующим кварталам, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл.12).

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты (гр.6 табл. 12). Найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты

Š 1 =(0,575+0,55+0,675)/3=0,6;

Š 2 =(–2,075 – 2,025 – 1,775)/3= –1,958;

Š 3 =(–1,25 – 1,1 – 1,475)/3= –1,275;

Š 4 =(2,55+2,7+2,875)/3=2,708.

Сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю, а у нас получилось 0,6 – 1,958 – 1,275 + 2,7=0,075, поэтому определяем корректирующий коэффициент k=0,075/4=0,01875. Окончательно определяем сезонную компоненту S i = Š i – k.

Таким образом, получаем

S 1 =0,581; S 2 = –1,979; S 3 = –1,294; S 4 =2,69.

Занесем полученные значения в табл.13 для соответствующих кварталов (гр.3).

Таблица 13

			T+E= y t – S t

Шаг 3 . Вычисляем T+E= y t – S t (гр.4 табл.13).

Шаг 4. По данным графы 4 строим линейный тренд Т=5,715 + 0,186t . Подставляя в это уравнение t =1,2,…16, находим Т (гр. 5 табл.13).

Шаг 5 . Находим теоретические значения T+S (гр. 6 табл. 13).

Шаг 6. Вычисляются ошибки модели и их квадраты (гр. 7 и 8 табл.13).

1. Построим уравнения степенной нелинейной регрессии вида для пар переменных y, x.

Нахождение модели парной регрессии сводится к оценке уравнения в целом и по параметрам (b0, b1). Для оценки параметров однофакторной модели используют метод наименьших квадратов (МНК). В МНК получается, что сумма квадратов отклонений фактических значений показателя у от теоретических ух минимальна

Сущность нелинейных уравнений заключается в приведении их к линейному виду и как при линейных уравнениях решается система относительно коэффициентов b0 и b1.

Рисунок 3 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(Производительность труда), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)

Рисунок 4 Линия регрессии на корреляционном поле. Ось ординат - значения y(степ.функция), ось абсцисс -значения x (Удельный вес рабочих в составе ППП)

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Полученное значение между 20% и 50%, что свидетельствует о существенности удовлетворительного отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена эконометрическая модель.

Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера. Расчетное значение критерия находится по формуле:

Для парного уравнения p = 1.

Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости по уровню значимости б и двум числам степеней свободы k1 = p = 1 и k2 = n - p - 1 = 51.

Если Fрасч

то гипотеза принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5%).Для уравнения Fрасч = 0,01609). Неравенство выполняется. Уравнение в целом статистически незначимо.

Теснота нелинейной корреляционной связи определяется с помощью корреляционных отношений (индекс корреляции).